ОТО. Поправка

 

А.И. Сметанников

 

(Получена 5 октября 2012; опубликована 15 октября 2012)

 

При анализе проблем общей теории относительности (ОТО) получено выражение для гравитационной постоянной. На основе этого получены любопытные с познавательной и теоретической точек зрения результаты.

 

И на извилистом пути

В тенях нам душу не спасти.

Там леди светлая идет,

Она покажет нам вот-вот

Свой золотой небесный свод,

И если слух не подведет,

Тебя мелодия найдет,

Чтоб мир единство вновь обрел:

Уж лучше рок, чем просто ролл.

А она купит лестницу в небо.

Led Zeppelin, Stairway To Heaven.

 

1905 год для  теоретической физики выдался  драматичным. Создание специальной теории относительности  (СТО) на первый взгляд казалось эпохальным событием, но с другой стороны  сам принцип  относительности  был поставлен под сомнение. Согласно  СТО  все  физические явления  должны подчиняться принципу относительности, что в конечном счете означает их релятивистскую инвариантность. В то время были известны только два фундаментальных взаимодействия – электромагнетизм и гравитация. С электромагнетизмом  все было хорошо, ведь СТО как  раз и была создана на основе анализа  скорости света, а свет явление электромагнитное. Но вот  гравитация  в рамки СТО не вписывалась. Дело в том что потенциал классического (ньютонового) гравитационного  поля  удовлетворяет уравнению Пуассона

;             (1)

здесь -потенциал гравитационного поля, -гравитационная постоянная, т – масса  тела.

  Уравнение Пуассона  релятивистки не инвариантно. Таким образом получалось, что уже гравитация не подчиняется  принципу относительности. Гравитация сгущала тучи над СТО и Эйнштейн предпринял попытку спасти ситуацию. В результате появилась релятивистки инвариантная теория гравитации, известная как  общая теория относительности – ОТО. Произошло это в 1915 году и с тех пор справедливость  СТО не вызывает сомнений. Но компромисс  дался нелегкой ценой, увы, но  ОТО  содержит ряд недостатков. Например, в ней нет места законам сохранения энергии и импульса. Уже одного этого достаточно чтобы усомнится  в  ее полной справедливости.

   Вряд ли Эйнштейн мог допустить ошибку, в рамках известной ему физики. Но на момент создания ОТО  малоизвестными и недооцененными  были квантовомеханические  подходы. Большинство физиков их игнорировали. Набравшись терпения, мы в дальнейшем  увидим, что это обстоятельство, возможно, сыграло роковую роль в  теории  гравитации.

Начнем с рассмотрения самого простого релятивистки инвариантного уравнения – волнового.

;                 (2)

 Введя  обозначения  k- волновой вектор, =kc - круговая частота, r –радиус-вектор, t –время, с- скорость света,  его решения  можно записать

 как в  тривиально-общеизвестной  волновой форме

;                  (3)

так и в зачастую игнорируемом  виде

;                   (4)

В последнем случае мы имеем  шары радиусов R движущиеся со скорость света. Таким образом общее решение  релятивистского волнового уравнения  есть

;                  (5)

  Это есть математическое выражение корпускулярно-волнового дуализма  для элементарных объектов света – фотонов. После открытия  корпускулярных свойств у света была  введена  постоянная Планка -,  посредством  которой  энергия  - Е, импульс – Р, и значения  k, фотона могут быть выражены  как

 ;                     (6)

 Поэтому (5) можно переписать

 ;                (7)

 Для  микрочастиц  волновое уравнение сложнее. В частности для  волновой части решения  - можно написать уравнение Клейна-Гордона.

;                   (8)

  Но для  корпускулярной  части  получается уравнение

;               (9)

  Его  решением  может быть, например,  функция 

;              (10)

  Ее  подстановка в (9) дает алгебраическое уравнение

;              (11)

  Но  K=R²,  поэтому  приходим  к релятивистскому  выражению  для  энергии

;               (12)

  Уравнения  отличаются знаками правых  частей, но из условия

;              (12)

  Можно получить  уравнение

;                    (13)

  При равенстве  нулю одной из функций  все выражение теряет смысл. В этом проявляется неразрывность  корпускулярной и волновой функций. Волна и корпускула в квантовом мире одно неразрывное целое. И не только в квантовом. Уравнение (13) не имело бы смысла, не будь экспериментальных подтверждений единства  корпускул и волн. Например, можно попытаться объяснить природу шаровой молнии, рассматривая ее как корпускулу, а подпитывающее ее поле как волновое. К тому же в 2006 году Ив Куде [1]  на опыте наблюдал  интерференцию масляных капель размером до 1 мм, но при этом  капли были колеблющимися и возбуждали волны на поверхности жидкости, на которой они находились. Таким образом на опыте было доказано наличие корпускулярно-волнового дуализма у макроскопических тел. В микромире, по-видимому, все происходит именно также, нам остается  только найти «поверхность жидкости » на которой плавают микрочастицы.

  Исходным  пунктом  будет служить  уравнение Клейна-Гордона. Оно дает нам еще одну связь между  энергией и импульсом. Подстановка (3) с учетом (6) дает

;               (14)

  Мы можем сократить на , но  в квантовой механике 

;                 (15)

  Поэтому  в квантовой механике  справедливо соотношение

;                  (16)

  Мы видим, что в квантовой механике  выражение   имеет смысл энергии. А это в свою очередь означает, что любое центрально симметричное поле может иметь квантовую природу, и при этом является релятивистки инвариантным. Но к таким полям относится  и  гравитация  в теории Ньютона.

  Вся  теория  ОТО строится вокруг метрики пространства-времени, которая в свою очередь выражается  через  интервал  в криволинейном пространстве. Этот  интервал в наиболее общем четырехмерном  виде  можно записать в виде

;                     (17)

здесь ds - интервал, - произведение пространственно-временных  дифференциалов, - метрический тензор. Между тем  в волновое  уравнение пространственно-временные дифференциалы  входят раздельно, в лучшем случае в виде отношения  dr/dt=c. Ввиду того, что криволинейные координаты есть наиболее общая  форма координат, преобразуем уравнение Клейна-Гордона  таким образом, чтобы дифференциалы перемножились. Для этого, с учетом того, что dr/dt=c,пишем его в дифференциалах

 ;                     (18)

;                   (19)

  Проще всего добиться  перемножения  дифференциалов, возводя в квадрат последнее уравнение.

;            (20)

  Так  как это уравнение Клейна-Гордона, его решением  будет функция

 ;                (21)

  Ее подстановка в (20) дает

;                  (22)

  Из  релятивистского выражения для энергии

;              (23)

Для случая   получаем

; (24)

С учетом этого, и того, что  упростим  (22)

;                        (25)

Разделив  последнее  на получим зависимость среднего члена только от т²

;                      (26)

 И, наконец,  введем   зависимость этого выражения от   посредством

;                  (27)

Мы  знаем  из (16) что такая зависимость  может  отражать связь с некоторым  центрально-симметричным полем. Единственная неизвестная величина в этом выражении это масса – т. Так  как  уравнение у нас квантовое то ясно, что этой  массой может быть только масса  элементарной частицы. Для чистоты  эта частица не должна  иметь  электрический заряд и быть относительно стабильной. Единственной такой частицей является нейтрон. Подставим  в (27) массу нейтрона, выразив ее через массу электрона  1838т.

;                       (28)

Ясно, что если центрально-симметричное поле зависело  бы только от значения , то в природе было бы только одно такое поле. Так как их как минимум два, то значение  должно быть умножено, причем только на  безразмерный коэффициент. Но из (28) можно получить только безразмерный коэффициент 1838. Поэтому  возможны следующие варианты

;                        (29)

;              (30)

Или

;                 (31)

 Мы видим, что все уравнения  имеют  общий коэффициент

;                 (32)

но  это – ровно половина  гравитационной постоянной.

С учетом этого последнее уравнение  может быть  записано  как

;               (33)

здесь

;                  (34)

есть  гравитационная энергия  взаимодействия двух нейтронов  на расстоянии  волны де-Бройля

  Это уравнение не совсем корректно, так  как в нем гравитационная постоянная  есть выражение (32), но оно ввиду произвольности  dt может иметь произвольные  значения. Поэтому,  с учетом  того  что

;            (35)

перепишем   (33) в виде

;             (36)

  При  условии что    получаем

;                   (37)

Полную энергию движения  пары нейтронов в общем поле гравитации. Но в данном случае гравитационная постоянная есть

;                (38)

То есть  в квантовой механике  гравитационная  постоянная  вовсе не постоянная, а  линейный дифференциальный оператор. Возможно, ошибкой Эйнштейна было то что, он считал ее именно постоянной.

  Если гравитационная постоянная  есть дифференциальный оператор, то это в корне меняет дело. Теперь  потенциал гравитационного  поля  не выражается посредством уравнения Пуассона. Напротив  гравитация есть врожденное свойство квантовых релятивистских уравнений, то есть гравитация в квантовой теории сразу появляется в релятивистки инвариантной форме. Надобность в метрических теориях  гравитации, наподобие ОТО, в этом случае вообще  отпадает.

  Однако сразу  возникает  вопрос, если гравитационная постоянная  есть дифференциальный оператор, то на что он действует. Выше было показано, что элементарную  частицу  можно рассматривать как  объект  волна-корпускула. Если условно принять за  характеристику  волны гравитацию, а ее мы получили, рассматривая волновое уравнение Клейна-Гордона, то массу можно принять за характеристику  корпускулы. Из  релятивистского уравнения для энергии частицы с полной массой т₀

;                   (39)

следует, что если энергия  изменяется  на величину , то измениться может только масса

;                       (40)

ведь квадрат  скорости света в вакууме  есть величина постоянная. Следовательно, в релятивистской теории масса есть величина переменная, а значит, на нее могут действовать дифференциальные операторы, в частности гравитационная постоянная.

  Рассмотрим  действие гравитационной постоянной  в классическом  случае центрально-симметричного поля, считая, что оба параметра R(t)- радиус вектор и масса т(t) есть функции времени.

;                    (41)

 Оказывается,  что  это  выражение состоит из трех частей

;       (42)

 Первая  часть зависит  от 1/R  и согласно знаку имеет форму притяжения, поэтому ее можно понимать как  классическую гравитацию. Но вторая  часть, имея  форму притяжения, зависит от  1/R³ , поэтому быстро затухает с расстоянием. Мы не знаем,  каков числитель этой энергии, однако, допуская, что он мал, можно сделать следующее заключение. Вторая  часть  гравитационной энергии  может иметь заметное влияние только для больших скоплений масс, например галактик. В этом случае она играет роль дополнительной силы  удерживающей галактику. То есть ее  можно отождествить  с  тем, что в современной астрономии называют «темной материей». Для малых масс, например Земли, эта сила настолько мала, что не определяется на опыте. Ясно, что за пределами отдельной галактики эта сила быстро затухает.

  И,  наконец,  третья  часть, зависящая  от 1/R²,  имеет  форму  отталкивания. Парадоксально, но факт, если гравитационная постоянная есть дифференциальный оператор то, гравитация может иметь форму отталкивания. Можно допустить, что числитель этой формы гравитации настолько мал, что   она  проявляет себя  только в глобальных  масштабах  Вселенной, то есть на межгалактическом  уровне. Ее  можно отождествить с тем, что в современной астрономии  называют « темной  энергией ».

  Из  вышеизложенного видно,  что представление  гравитационной  постоянной  в  виде  дифференциального  оператора,  может быть полезно при решении  проблем  современной астрономии.

  Для проверки наших  предположений  допустим (помня, что для корпускулы энергия меняет знак), что первая  часть выражения (42), асимптотически стремиться  к ньютоновскому  выражению для гравитации, то есть

;                        (43)

 Решая  это уравнение,  получим  выражение для массы

 ;                 (44)

здесь   С_1, С₂ константы, определяемые начальными условиями.

    Как  и  следовало  ожидать, масса  оказалась колеблющейся. Можно допустить  что масса  элементарной частицы  состоит из двух частей, массы  покоя  М₀  и  колеблющейся гравитационной массы (44)

;             (45)

  При интегрировании  по конечному промежутку времени интеграл

;                 (46)

мы взяли т²  ввиду  (43).

  Поэтому  на  опыте, а стало быть и за конечный промежуток времени, мы  можем определить только массу покоя  частицы. Гравитационные колебания  массы  определить невозможно.

  Последние вычисления, конечно, не имеют доказательной силы. Их цель оценка возможностей  теории гравитации, основанной на предположении, что гравитационная постоянная есть дифференциальный оператор. Полная  теория  гравитации  должна быть согласована  со  Стандартной моделью, а это дело  видимо коллективное.

  Продуктивность  описанного  подхода  возможно даже больше, и он может быть использован при  поиске теории объединяющей гравитацию и электромагнетизм по следующей причине. Перепишем (25)

;                        (25.1)

 и  поставим  цель, выразить второй член сразу в  виде энергии. Для этого, как мы знаем, нужно добиться его линейной зависимости от  и 1/r. Замечая, что выражение  есть комптоновская длина, умножаем все выражение  на  величину  получив в итоге

;                     (47)

  Здесь  значение т также используется как коэффициент пропорциональности. Выберем его исходя из особенностей нейтрона, как частицы связующей с гравитацией. Из опыта известно, что нейтрон окружен полем из виртуальных мезонов, которые образуют его ядерное поле. Этих частиц всего три -пионы. Масса заряженных пионов 273т_е именно ее и подставим в (47)

;                       (48)

  Но значение

;                    (49)

равно квадрату элементарного заряда. Умножив (48) на т получим

;                    (50)

Здесь справа, с точностью до множителя, стоит  кулоновское взаимодействие  двух элементарных зарядов.

 Таким образом, нейтрон и окружающие его мезоны могут в общих чертах объяснить возникновение гравитации и электромагнетизма. Возникает вопрос, а что  наличие этих частиц еще может объяснить?

  Из  астрономических наблюдений известно, что в природе, несомненно, существуют нейтронные звезды, это конечный этап эволюции для большинства из них. Предположительно существуют черные дыры, но ОТО ничего не может дать об их внутренних свойствах, констатируя лишь возможность их существования. В этом смысле ОТО  недалеко ушла от Митчелла, указавшего на возможность существования черных дыр еще в середине XVIII  века.

  Допустим, что гравитация существует лишь до тех пор, пока существуют  нейтроны, как структурные единицы, или продукты их распада. Поэтому гравитация черных дыр не может уничтожить нейтроны. Так как выводы классической теории гравитации Ньютона и ОТО в отношении  черных дыр идентичны то воспользуемся  формулой для гравитационного радиуса черной дыры для нейтрона. Итак,  гравитация черной дыры может сжать нейтрон до радиуса  «нейтронной черной дыры», то есть нейтрон в черной дыре, в первом приближении, будет иметь форму шара радиуса

;                      (51)

  Так  как гравитация обладает свойством  эквипотенциальности, то естественно предположить, что нейтроны в черной дыре находятся на поверхности сферы, радиус которой найдем из следующих соображений. Гравитация черной дыры не отменяет ядерные силы нейтрона. Поэтому поле виртуальных мезонов вокруг нейтрона должно быть сохранено. Но мезоны не могут выйти за гравитационный радиус черной дыры, поэтому  искать их нужно только внутри черной дыры, то есть внутри сферы определенного радиуса, меньше которого черная дыра сжаться не может без разрушения нейтронов. Учтя, что из-за сильного гравитационного поля виртуальные мезоны практически неподвижны, найдем радиус, в котором они могут быть заключены. Из (5)

;                  (5.1)

Можно заключить, что корпускула может быть обнаружена  в радиусе не более чем

;                    (52)

Здесь  искомый радиус. Так как мезоны практически неподвижны, их энергия  почти равна их энергии покоя, поэтому  они могут быть обнаружены в радиусе своей комптоновской длины. Но гравитационное поле черной дыры может  «сплющить»  их  в отрезки. Ясно, что длина такого отрезка не превышает  длины окружности радиуса , то есть радиус черной дыры не может быть менее

;                   (53)

  Тогда площадь поверхности черной дыры равна

;                    (54)

  Площадь «нейтронной» черной дыры очевидно равна

;                     (55)

  Следовательно, на поверхности черной дыры может разместиться не более чем

;                 (56)

нейтронов. Но это известная величина, равная числу нуклонов во всей Вселенной. Опыт дает для нее величину , в общем, то небольшое расхождение, с учетом  точности экспериментов в этой области.

 Таким образом, нам удалось в общих чертах построить модель «зародыша» Вселенной, на что в ОТО нет ответа.

  Сейчас уже стало очевидным  что «зародыш » Вселенной, коль скоро он имеет место быть, по неизвестным пока причинам  взорвался. Произошел Большой Взрыв,  породивший Вселенную. В рамках изложенного можно попытаться понять, что происходило в его первые мгновения.

  Если «зародыш» Вселенной представлял собой крепко спрессованные нейтроны на поверхности некоей первозданной черной дыры, а ее полость заполняли мезоны, то сценарий ее развала мог быть следующим.

  Внутренние мезоны естественно гравитационно взаимодействовали с поверхностными нейтронами. Минимальная энергия такого взаимодействия, по теореме вириала, естественно была  равна

;                (57)

где r радиус «зародыша » Вселенной равный величине (53). Тогда

;                       (58)

  Квант этой энергии равен

;               (59)

  Здесь R можно понимать как длину волны кванта гравитационной энергии, так и как некоторую длину.

;                (60)

  Разделив  это расстояние на световой год  G=9.46*10¹⁷, получим время, за которое свет пройдет это расстояние

;               (61)

  Но это известная величина, равная  возрасту Вселенной. Опыт дает для этой величины значение 1,37*10¹⁰ лет,  ошибка между теорией и опытом составляет 1,5%, что довольно неплохо для начала.

  Для объяснения  этого результата воспользуемся соотношением  , записав (59) в виде

;                     (62)

  Ясно, что

;                    (63)

  И  значение R  есть  максимальное расстояние, на котором еще возможны электромагнитные взаимодействия. Следовательно, в оптическом диапазоне за пределами этого расстояния мы ничего не увидим,  что и интерпретируется как граница Вселенной. Выражая гравитационную постоянную через массу нейтрона, видим, что для радиуса Вселенной нужно всего 4 величины: массы нейтрона и мезона, а также  скорость света с постоянной Планка, и все!

  Таким образом, развал «зародыша » Вселенной генерирует вещество в собственный ее радиус, образуя для него «лестницу в небо».

 

Литература

 

1. Взволнованная капля. www.gazeta.ru/science/2006/10/05_a_895372.shtml
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.  Теоретическая физика. В 10 т. (М.: Наука. 1988-1989)