Квантовая Магия, том 8, вып. 4, стр. 4139-4151, 2011
Космологическая
система координат Е.В. Бурлаченко (Получена 12 августа 2011; опубликована 15 октября
2011) Известны факты, имеющие
отношение к космологии, смысл которых остается нераскрытым. Например,
трехмерное пространство Лобачевского совпадает с релятивистским пространством
скоростей; в определенной системе координат метрика пространства Минковского
принимает вид метрики пространства Фридмана. В статье подобные факты
рассматриваются с общей точки зрения. 1 Согласно общей теории относительности и астрономическим данным, существует система координат, в которой метрика пространства-времени принимает вид:
Трехмерное
подпространство пространства-времени, образованное пространственными осями
координат, принято называть пространством. Точкам пространства с фиксированными
координатами соответствуют скопления
галактик, или короче, галактики. В рассматриваемой системе координат все
галактики имеют одинаковый возраст, поэтому время Расстояние между двумя пространственными
точками
так что
Аналогичное равенство справедливо и для длины волны фотона:
Непривычной
особенностью системы координат, связанной с метрикой (1), является то, что она
не позволяет выражать пространственные расстояния в световых единицах времени.
Пусть в момент
Чтобы в этом убедиться, представим метрику (1) в виде
где
Уравнение распространения света принимает вид
или
Отсюда видно, что пройденный светом путь и время, затраченное на его преодоление, связаны определенной зависимостью, но не линейной. Обозначим
Для любого
Метрику (1) впервые получил Александр Фридман, решая уравнения Эйнштейна для однородной и изотропной Вселенной. Но оказывается, для вывода метрики достаточно одних условий однородности и изотропности [1], [2]. Для выполнения этих условий трехмерное пространство Вселенной должно быть пространством постоянной кривизны. В свою очередь, трехмерное пространство Лобачевского (пространство постоянной отрицательной кривизны) можно отождествить с релятивистским пространством скоростей [3], [4], [5], т. е. с пространством инерциальных систем отсчета специальной теории относительности. Последнее обстоятельство не может быть случайным и должно учитываться при отыскании конкретного вида метрики (1). Метрика пространства-времени (пространства Минковского) допускает две возможные реализации временной оси координат – действительную и мнимую:
Равенство устанавливает соответствие между функциями специальной теории относительности и гиперболическими функциями:
Равенство
устанавливает соответствие
Таким образом, две возможные системы представления пространства-времени связаны формулами перехода:
Минусом мнимой системы представления является то, что она не находит применения в общей теории относительности; плюсом является то, что она позволяет рассматривать с общей точки зрения пространства постоянной кривизны, как положительной, так и отрицательной. Каждая точка пространства-времени, расположенная во внутренней области изотропного (светового) конуса, находится на мнимом расстоянии от начала координат. Гиперповерхность можно рассматривать как
гиперсферу мнимого радиуса Выбор
параметра выделим сферу
Внутренняя метрика сферы
проявляется при переходе от декартовых координат к сферическим с учетом условия
Но возникает вопрос: что это за четырехмерное пространство, трехмерной поверхностью в котором является пространство Вселенной? Обычно отвечают, что это вспомогательный образ, существующий лишь в нашем воображении: внутренняя геометрия пространства Вселенной самодостаточна, и возможность представлять его в виде трехмерной сферы не имеет отношения к делу. Такое объяснение не убедительно: при построении модели Вселенной, понимаемой как мир в целом, не должно оставаться не только лишних деталей, но и лишних возможностей. Поэтому будем представлять пространство Вселенной как гиперповерхность («сферу») в реальном пространстве-времени:
«Сфера»
состоит из двух «полусфер», пересекающих временную ось в противоположных
направлениях от начала координат. Чтобы выделить «полусферу» с положительным
направлением времени, спроектируем точки «сферы» из центра на касательную
гиперплоскость Пространственные координаты проекции точки «сферы» с координатами
Так как
то
Подставляя новые выражения для
или
Приравняем
Если
то
Возможны также следующие преобразования координат:
или в координатах
Известно, что
пространство постоянной положительной кривизны может быть сферическим или
эллиптическим, получающимся из сферического путем отождествления диаметрально
противоположных точек сферы. Как видим, этот факт имеет прямое отношение к
рассматриваемой задаче. Вопрос, почему при проектировании сферы на плоскость
форма (вернее, множество допустимых форм) линейного элемента сохраняется,
вскрывает взаимосвязь между геометриями Евклида, Римана и Лобачевского,
основанную на принципах проективной геометрии [5], [7]. Несмотря на
впечатляющую эффективность своих методов, проективная геометрия до сих пор не
нашла применения в физике. Но, вероятно, язык проективной геометрии
предназначен для космологии с ее
«сингулярностью», «скрытой массой» и другими трудновыразимыми понятиями. 2 Инерциальную
систему отсчета в пространстве Минковского для
краткости назовем И-системой; систему координат, связанную с
метрикой (1), назовем космологической,
или К-системой. Трехмерное пространство Лобачевского будем рассматривать как
пространство инерциальных систем отсчета, которые свяжем с галактиками,
удаляющимися друг от друга в И-системе по закону Хаббла:
где Систему
отсчета свяжем с нашей Галактикой. Пусть
в настоящий момент
где
то момент испускания света галактикой в нашей И-системе равен
Момент этого же события в К-системе, т. е. возраст галактики в момент
испускания света, связан с
Нашу
галактику обозначим буквой
В пространстве Лобачевского с метрикой
расстояние между началом координат и точкой
Если в метрике (1)
Таким образом, метрика (1) принимает вид
Оказывается, найденная метрика связана с метрикой пространства Минковского в форме преобразованием координат [2]:
или в «эллиптических» координатах [8]:
Равенства
означают, что Отметим четкость разделения дифференциалов на пространственную и временную составляющие:
Подобное разделение дифференциалов происходит при переходе от декартовых координат евклидова пространства к сферическим. Действительно, найденная метрика в двух ее формах – не что иное, как метрика пространства Минковского в «сферических» и, как мы убедились, в «эллиптических» координатах. Чтобы убедиться в первой части утверждения, рассмотрим трехмерный случай:
Если параметр
Если
В «сферических» координатах пространство Вселенной состоит из двух «полусфер», расширяющихся в противоположных направлениях времени. «Эллиптические» координаты описывают расширение одной из этих «полусфер». Ричард Фейман убедительно показал, что антиматерию можно рассматривать как материю, двигающуюся назад во времени [10]. Поэтому с физической точки зрения одну из «полусфер» можно рассматривать как сжимающийся антимир. Однако, с математической точки зрения следует рассматривать «полусферы» как две части Вселенной, расширяющиеся в противоположных направлениях времени. В заключение рассмотрим преобразование координат пространства Минковского, ведущее к метрике в форме (1):
или
Тогда:
Равенства
означают, что
где В [11] рассматривается стереографическая проекция сферы в связи с пространством Лобачевского. Сопоставляя сферу со «сферой», можно сделать вывод, что стереографической проекции «полусферы», противоположной полюсу проектирования, соответствует модель пространства Лобачевского, называемая моделью Пуанкаре. Литература
|