Рассеяние частиц на N-щелевом экране: ковры Талбота и дифракция в дальней зоне

 

В.И. Сбитнев[1]

 

(Получена 8 января 2009; опубликована 15 января 2009)

 

Рассматривается рассеяние Гауссова волнового пакета на экране, включающего  параллельных щелей. Показывается, что в ближней зоне, зоне Френеля, формируются вполне упорядоченные интерференционные паттерны волновой активности - ковры Талбота. В дальней зоне, зоне Фраунгофера, формируется типичная дифракционная картина, где между главными максимумами располагается  побочных максимумов.

 

Начнем с интересного поста Пипы (это ник), помещенного на сайте Квантовый Портал (см. в конце статьи[i]) или по ссылке:

http://quantmag.ppole.ru/index.php?option=com_smf&Itemid=34&topic=287.msg9215#msg9215

 

Введение

 

Вышеприведенный пост ясно подчеркивает, что при анализе явлений интерференции волн на щелях, следует принимать во внимание, как размеры щелей, так и расстояния между ними. Так как интерференция – это результат сложения волн, все расстояния желательно выражать в масштабах длины волны . Так, например, при создании узконаправленного радиоизлучения полуволновые вибраторы собираются в упорядоченные решетки, с расстояниями между вибраторами, кратными длине волны радиоизлучения

 

                .

                                                                                    

В данном условном рисунке полуволновых вибраторов располагаются друг от друга на расстоянии, равной длине волны . В этом случае, результирующее излучение данной решетки будет складываться из суммы излучений всех вибраторов, эквидистантно разнесенных на длину волны . В результате будет сформировано узконаправленное излучение с полушириной главного излучающего лепестка порядка . Если начать разносить вибраторы на расстояния превышающие , влияние вибраторов друг на друга начнет ослабевать. Интерференционная картина начнет разрушаться, и желаемый узконаправленный интерференционный паттерн получен не будет.                                

В данной работе будем моделировать рассеивание нейтронов щелевом экране. Нейтроны – частицы, не имеющие заряда, а, следовательно, они не взаимодействуют с электрическим полем. Расстояние между ближайшими щелями равно длине волны, а длина волны нейтрона  пусть будет . Эта длина волны отвечает ультрахолодным нейтронам. Скорость такого нейтрона, , равна , а температура  [1]. Здесь  - масса нейтрона,   и - постоянные Планка и Больцмана, соответственно.

 

 

Рассеяние ультрахолодных нейтронов на N-щелевом экране

 

При моделировании интерференции на щелевом экране, выберем волновую функцию с Гауссовым законом распределения [2], [3]. Такая функция со временем размывается из-за различия в скоростях плоских волн, суперпозиция которых представляет данный волновой пакет. Пакет, описывающий нормальное распределение частиц при излучении от той щели, представляется функцией:

                                                                                     

                                .                           (1)

 

Координата  направлена вдоль экрана, а  направлена поперек экрана, смотри Рис. 1.

 

 

Индекс относится к нумерации щелей, а - период щелевой решетки. Мы принимаем здесь . Волна распространяется вдоль оси со скоростью . Поскольку , то в аргументе волновой функции  решено не включать .

Параметры  и относятся к размыванию пакета во времени. При этом  является времени зависимым комплексным значением этого размывания [3]

 

                                                                  ,                                                              (2)

 

а - его начальное значение. В данной симуляции будем принимать . В начальный момент  волновая функция (1) представляет Гауссов пакет с дисперсией . Волновая функция, представленная суперпозицией плоских волн, подвергается прямому (при ) а затем обратному (возвращает ) Фурье преобразованиям. В результате данных манипуляций находится комплексный множитель  [2].

 

При рассеянии на экране, содержащего  щелей, , каждая щель представляется как источник излучения частиц, описываемый одной и той же волновой функцией (1). Чтобы получить результирующий эффект, на выходе щелей следует просуммировать вклады от всех этих источников ()

 

                                                                                                                 (3)

 

Вот момент истины - принцип суперпозиции волновых функций - складываются амплитуды вероятностей, но не сами вероятности, как это проделывается в теории вероятностей в случае независимых испытаний. Измеряемой величиной, однако, является интенсивность на детекторе, помещенного в точке :

 

                                                              .                                                         (4)

 

Нормированная на единицу, эта величина представляет плотность вероятности  обнаружения частицы в окрестности точки .

На Рисунках 2, 3, 4 и 5 показано распределение интенсивности  в плоскости . Следует обратить внимание на трансформации интерференционного паттерна по мере того, как происходит переход от ближней зоны в дальнюю. Рисунок 2 показывает интерференционный паттерн, формирующийся в ближней зоне – зоне Френеля. Такой паттерн называется ковром Талбота. Впервые подобный ковер наблюдал Генри Фокс Талбот в 1836 году при изучении интерференции света в ближней зоне [4]. Интересно обратить внимание, что вблизи щелей наблюдается само-подобие.

 

 

Увеличенный фрагмент такого само-подобия показан на Рисунке 3. Поразительным при этом является то, что длина волны  значительно превышает  элементы, из которых составлен этот само-подобный паттерн.

          Рисунки 4 и 5 показывают эволюцию интерференционных паттернов в области перехода от ближней зоны к дальней зоне. Прежде всего можно видеть, что какой-либо намек на фрактальность интерференционного паттерна исчезает. Вместо этого, мы ясно различаем формирование нескольких выделенных лучей (главные лучи), разделенных слабыми вспомогательными лучами, Рис. 5. Эти вспомогательные лучи на рисунке указаны красными стрелками. По сути, мы наблюдаем формирование дифракционного паттерна в дальней зоне - зоне Фраунгофера. Результат показан на Рисунках 6 и 7.

В дальней зоне, , интенсивность на детекторе  может быть аппроксимирована дифракционной формулой

                                                         ,                                                    (5)

где

                                                                           (6)

и

                                                               .                                                          (7)

 

Здесь и далее в этих формулах мы принимаем . Знаменатель  в этих формулах следует из мгновенной ширины [3], [5] Гауссового размывания (2) 

 

 

                                             .                                         (8)

 

          Дифракционная функция (5) изображена на Рисунках 6 и 7 синими кружками. Зеленой пунктирной линией на Рис. 7 нарисована также огибающая кривая . Множитель  следует непосредственно из дифракционной формулы (5). А именно, при  мы обнаруживаем предел .

 

Давайте на порядок уменьшим длину волны. Пусть  при той же самой величине начального размывания . При уменьшении длины волна, увеличивается скорость частицы, а следовательно и ее кинетическая энергия. Отсюда следует, что прохождение частиц через экран будет более энергичным. Пусть период решетки будет . Результаты прохождения через 7-щелевой экран показаны на Рисунках 8 и 9.

Рисунок 8 показывает ковер Талбота, формирующийся в ближней зоне. Можно видеть, этот ковер качественно отличается от показанного на Рис. 2. Хорошо организованные в шахматном порядке ячейки размазываются на краях. Организация этого ковра Талбота есть такая же, как описанная в статье Санза и Мирет-Артеса [3]. Сам ковер похож на пирамиду, с рассеиваемыми по левую и правую стороны лучами. Мощный луч проходит в прямом направлении, см. Рис. 9. А два более слабых боковых луча отделены от основного пятью вторичными лучами, указанными на Рис. 9 красными стрелками.

          По сути, Рисунок 9 показывает переход в дальнюю зону. И здесь также можно обнаружить формирование дифракционной картины, описываемой формулой (5). Такая картина показана на Рисунке 10. Можно видеть, что интенсивность  в дальней зоне, , прекрасно аппроксимируется функциями (5) и (6).

Два главных латеральных максимума, как видно, сильно подавлены. Только главный максимум, расположенный в центре, является большим. Эти максимумы отделены друг от друга пятью побочными максимумами, указанными на Рис. 9 красными стрелками.

 

Ковер Талбота в представлении траекторий Бома

 

Представим волновую функцию (3) в форме [6]

 

                                                             .                                                        (9)

 

Отсюда находим действие

                                                            .                                                     (10)

 

Следующим шагом является вычисление поля скоростей  [4], согласно формуле

 

                                           .                                    (11)

 

Здесь временно подменены переменные  на , чтобы подчеркнуть общность данной формулы. Только поперечная компонента скорости

 

                                                                                           (12)

 

модифицируемая комплексным времени зависимым параметром размывания, см. представление (2), определяет поперечные сдвиги Бомовских траекторий. Продольная компонента , будем полагать, является неизменной, определяемой длиной волны частицы (нейтрона)

                                                                             .                                                                      (13)

 

Здесь мы рассмотрим только второй случай , , т.е. случай появления упорядоченного ковра Талбота, см. Рис. 8. В этом случае .

          Координаты Бомовских траекторий вычисляются по следующим формулам

 

                                                                                                                             (14)

 

с шагом  меньшим, чем . В начальный момент , а  может принимать любые значения в интервале от  до . Ансамбль траекторий, вычисленный при , показан на Рисунке 11. Можно видеть, что он качественно хорошо воспроизводит паттерн Талбота, показанный на Рисунке 8.

 

Приехали

 

Бомовские траектории, показанные на Рис. 11, представляются как набор геодезических траекторий [7]. Эти траектории подчиняются принципу наименьшего действия, который следует из процедуры минимизации интеграла комплексного действия. Давайте представим теперь, что частицы проходят через 7-щелевой экран поштучно. Так что, для набора удовлетворительной статистики потребуется затратить достаточное количество времен, выстреливая шаг за шагом частицы на этот щелевой экран. В Результате такого утомительного эксперимента мы обнаружим тот же самый интерференционный паттерн, предсказываемый теорией. Возникает вопрос, будет ли каждая единичная частица, брошенная на 7-щелевой экран, двигаться по какой-нибудь траектории, предсказанной согласно принципу наименьшего действия? Ответ -  нет. В отличие от классической частицы, которая на самом деле будет двигаться по одной и только одной оптимальной траектории, квантовая частица зондирует все выходящие из всех семи щелей траектории скопом. Говорят, квантовая частица пребывает в делокализованном состоянии. Таким образом, Бомовская траектория, изображенная в окрестности регистрирующего прибора, отображает тенденцию движения частицы и оценивается по результатам возможного зондажа всех щелей. Факт регистрации частицы заканчивается тем, что все остальные траектории аннулируются.

Формула (12), вычисляющая поперечную скорость , содержит суммирование вкладов от всех щелей. На самом деле, чтобы найти каждую отдельно взятую траекторию, показанную на Рис. 11, нам следует суммировать волновые поля, излучаемые от всех щелей. Отсюда можно заключить, что волновая функция является первичным объектом, определяющим состояния квантово-механической системы. Это полностью согласуется с Копенгагеновской интерпретацией квантовой механики. Согласно этой интерпретации, волновая функция представляет нечто большее, чем математическая абстракция [8]. Все версии Копенгагеновской интерпретации включают формально или методологически факт коллапса волновой функции в момент регистрации частиц - факт взаимодействия частицы с измерительным прибором определяется величиной плотности вероятности волновой функции в окрестности прибора, но не сознанием или желаниями наблюдателя. Это наблюдение подчеркнуто Пипой в посте, цитированном в вводной части статьи: Само взаимодействие есть результат редукции волнового пакета! И взаимодействие состоится, если этот пакет способен в данных обстоятельствах редуцироваться до локального акта, или же не произойдет совсем, если пакет окажется не способен это сделать. Все или ничего! Других результатов быть не может.

В заключение приведем вольное сравнение, почерпнутое из области наблюдаемых природных явлений. Бомовские траектории следуют из принципа наименьшего действия - они указывают наилучшие пути миграции частиц. Уместно искать аналогии с птичьими стаями, с рыбными косяками, или даже с жизнедеятельностью общественных насекомых, таких как пчелы, муравьи, термиты. Современные фильмы из мира животных освещают жизнь таких сообществ достаточно ярко. Представим себе, что они в некоторой степени моделируют волновую функцию. Квантовая природа волновой функции проявляется в том, что каждый участник стаи или косяка связан, незримыми нитями, со всеми остальными участниками «намертво». В таких случаях говорят система пребывает в запутанном состоянии – все участники ансамбля имеют вневременную взаимосвязь между собой вне зависимости от их местоположения. Поимка хотя бы одного участника автоматически означает аннулирование и всех остальных. Это – аналог коллапса волновой функции. Что собой представляет такая незримая сеть, из которой выткана волновая функция? Естественно представить себе, что она, подобно грибному мицелию, простирается через вакуумные состояния, накрывающие всю вселенную. Техника Фейнмановских интегралов по путям [9,10] может предоставить инструментарий для понимания жизни такого «мицелия».  Основная идея фейнмановской формулировки такова. После того, как частица покинула источник, она достигает детектор в некотором смысле всеми возможными путями. Каждому пути соответствует комплексное число – некоторый интеграл вдоль этого пути. Сумма таких чисел по всем возможным путям дает амплитуду вероятности данного перехода (из данного источника в данный детектор). Если модуль амплитуды вероятности возвести в квадрат, получим вероятность перехода [11]. Коротко говоря, в данной технике принимаются во внимание всевозможные пути рождения из вакуума, их уничтожения, виртуальные петли рождения-уничтожения частиц, поляризующие вакуум в окрестности данного пути, и т.д. и т.п.

Упомянутая выше сентенция участники стаи связаны между собой незримыми нитями "намертво", вносит некоторый элемент недосказанности, граничащий с намеком на существование скрытого параметра. В отличие от Копенгагеновсой интерпретации квантовой механики существует интерпретация, в которой целевым образом используется механизм подобной "мгновенной связи" между участниками. Это - транзакционная интерпретация квантовой механики [12]. Не вдаваясь в подробности этой интерпретации, отметим, что под словом транзакция в денежных электронных операциях между банками подразумевается предварительный обмен крошечными суммами, прежде чем начнутся переводы реальных сумм. Однажды проверив надежность электронного канала, далее все другие транзакции выполняются автоматически. Что касается квантово-механических систем, транзакция в данном случае формируется  с участием двух волн: запаздывающей волной – предложением (распространяющейся от источника из настоящего в будущее), и опережающей (распространяющейся от детектора из будущего в настоящее) волной – подтверждением [11,12].

Возможно, здесь читатель может испытать некоторый дискомфорт, поскольку в данном случае запаздывающие и опережающие волны выполняют роль, аналогичную роли пилот-волны де Бройля в де Бройль-Бомовской интерпретации.

 

Литература

 

1. Wikipedia, Ultracold neutrons, URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Ultracold_neutrons
2. G. I. Mark, Analysis of the spreading Gaussian wavepacket, Eur. J. Phys., (1997), v.18, pp. 247-250.
3. A. S. Sanz and S. Miret-Artẻs, A causal look into the quantum Talbot effect, (24 Feb 2007), URL: http://arxiv.org/abs/quant-ph/0702224
4. Wikipedia, Talbot effect, URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Talbot_effect
5. A. S. Sanz and S. Miret-Artẻs, A trajectory-based understanding of quantum interference, (1 Okt 2007), URL: http://arxiv.org/abs/0806.2105
6. В. И. Сбитнев, Бомовские траектории и парадигма интегрирования по путям. Комплексная Лагранжева механика, Квантовая Магия, (2008), том 5, вып. 4, стр. 4132-4147; URL: http://quantmagic.narod.ru/volumes/VOL542008/p4132.html
7. К. Ланцош, Вариационные принципы механики, (1965), М. Мир.
8. Wikipedia, Copenhagen interpretation, URL: http://en.wikipedia.org/wiki/ Copenhagen_interpretation
9. Р. Фейнман, «КЭД – странная теория света и вещества». Библиотечка «Квант», выпуск 66. М., «Наука», 1988 г.
10. Р. Фейнман, А. Гиббс, «Квантовая механика и интегралы по траекториям». М., «Мир», 1968 г.
11. П. В. Куракин, Г. Г. Малинецкий, «Как пчелы могут объяснить квантовые парадоксы», URL: http://quantum3000.narod.ru/my_papers/intro.html
12. Дж. Крамер, "Транзакционная интерпретация квантовой механики", Reviews of Modern Physics, (1986), v. 58, pp. 647-688; URL: http://ru.laser.ru/transaction/tiqm/