К квантовой теории гравитации

 

Александр Климец

aklimets@rambler.ru

 

(получена 28 марта 2005; опубликована 15 мая 2005)

 

В статье излагается новый подход к построению квантовой теории гравитации, основанный на квантовании преобразованного гравитационного уравнения Эйнштейна.

 

Вот уже более 70 лет физиками всего мира предпринимаются отчаянные попытки в создании теории, объединяющей два столпа современной физики: общую теорию относительности и квантовую теорию. Однако, несмотря на многолетние активные исследования, никто пока не смог сформулировать последовательную и полную квантовую теорию гравитации. Сегодня двумя ведущими кандидатами на квантовую теорию гравитации являются теория струн и теория петлевой квантовой гравитации[8], [10], [11]. Я не буду пробовать рассматривать эти подходы. Мне представляется, что оба они неверны. Ниже я изложу свой путь в построении квантовой теории гравитации.

Основное уравнение общей теории относительности является нелинейным уравнением, существенно нелинейным. Для гравитационных полей несправедлив принцип суперпозиции. Поэтому его квантово-механическое решение вызывает серьезные затруднения. Предпринимались попытки проанализировать это уравнение в случае слабых гравитационных полей, когда справедлив принцип суперпозиции ([1], с.195). Однако в целом квантовая теория гравитации еще не создана. Построение же квантовой гравитации в рамках теории струн (М-теории) [8] и в рамках петлевой квантовой гравитации [11] представляется необоснованным. Ранее мной было показано [3], [9], что на планковском уровне физическая материя существует только в чернодырном состоянии. То, что может быть допустимым в области сильных взаимодействий (одномерные струны, p-браны), становится невозможным для сильной гравитации. Поэтому струнные теории, теории квантовых гравитационных петель в рамках излагаемой ниже концепции квантовой теории гравитации являются неприемлемым вариантом.

Здесь мы рассмотрим не первоначальное уравнение Эйнштейна, а его преобразованный вариант. В этом случае формально оно упрощается, что дает возможность проанализировать его квантово-механически. При этом обнаруживается выход в область планковских масштабов и энергий, что, видимо, указывает на верность избранного пути.

Основное уравнение Эйнштейна имеет вид

R_ik - 1/2 g_ik R - l g_ik = (8p k/c⁴) T_{ik …………………….}(1)

где k - гравитационная постоянная, c - скорость света, l - космологический член.

Уравнение (1) можно проинтегрировать по гиперповерхности S ^k.

ò (- g)^1/2 (R_ik - 1/2 g_ik R - l g_ik) d S^k = (8p k/c⁴) ò (- g)^1/2 T_ik d S^k……(2)

где g - определитель метрического тензора g _ik. Тогда правая часть в (2) принимает вид

(8p k /c⁴) ò (- g)^1/2 T_ik d S^k = (4p 2 k /c³) P_{i………………}(3)

где P_i - 4-импульс массы (без учёта энергии-импульса гравитационного поля). Отметим, что 4-импульс P_i в данном случае не является сохраняющейся величиной. В гравитационном поле должен сохраняться не 4-импульс одной лишь материи, а 4-импульс материи вместе с гравитационным полем, которое описывается левой стороной уравнения (1). Последний же не учтен в выражении для T_ik . Но здесь мы рассматриваем только 4-импульс материи.

Левую часть уравнения (2) запишем следующим образом

ò (- g)^1/2 ( R_ik - 1/2 g_ik R - l g_ik) d S^k = 4p R_{i…………………….}(4)

Каким образом можно интерпретировать величину R_i в (4) ? Если рассмотреть подынтегральное выражение в (4), то R_i будет представлять собой сумму сложных величин с размерностью длины. Тензор R_ik в (1) имеет размерность cм^-2. Понятие кривизны, по определению, является величиной, обратной радиусу кривизны. Процедура интегрирования в (4) подразумевает увеличение степени подынтегрального выражения. В данном случае происходит преобразование от отрицательной второй степени к положительной первой степени. Величина R_i в (4) связана с гравитационным радиусом некоторой массы и является его i-той компонентой. В общей теории относительности просто нет других претендентов размерности длины, прямо пропорционально связанных с энергией-импульсом частицы, кроме ее гравитационного радиуса. Поэтому здесь нет никакой необходимости производить сложные вычисления равенства (4) и обосновывать справедливость указанной мной трактовки величины R_i как i-той компоненты гравитационного радиуса частицы.

Проинтегрированное уравнение Эйнштейна (1) принимает следующий простой вид

R_i = ( 2 k /c ³) P_{i………………………………}(5)

В отличие от нелинейного уравнения (1) уравнение (5) по отношению к переменным R_i и P_i является линейным и представляет собой частный случай линейного уравнения вида a₁ x₁ + a₂ x₂ + . . . + a_n x_n = b , где x - переменные, а - числа.

В (5) 4 - импульс P _i может быть равен

P_i = mc dx_i / ds

где m - масса частицы, dx_i / ds - ее 4 - скорость. В частности, в случае статического поля dx_a / ds = 0 (a = 1, 2, 3 ), dx₀ / ds =1 и из (5) мы будем иметь

R₀ = ( 2 k /c³) P₀ = ( 2 k /c³) mc ( dx₀ / ds ) = ( 2 k /c²) m…………(5')

В (5') R₀ есть не что иное как гравитационный радиус частицы R_g. Таким образом, соотношение (5) является обобщением выражения для гравитационного радиуса частицы в случае нестатического поля.

Уравнение (5) можно записать также следующим образом

R _i = ( 2 k /c ³) mc dx_i / ds = R_g U_i………………(5'')

где R_g - гравитационный радиус частицы, U_i - 4-скорость частицы. Отсюда U_i = R_i / R_g. .Сравните: U_i = dx_i / ds , а также U_i = P_i / mc.

Нетрудно видеть, что уравнение (5) аналогично также соотношению для гравитационного радиуса геона [3].

R_g = ( 2 k /c³) P

где P - импульс фотона, что указывает на их взаимосвязь.

На основании того, что в статическом случае уравнение (5') идентично выражению для гравитационного радиуса массы m, мы полагаем, что величина R_i является i -той компонентой гравитационного радиуса частицы в динамическом случае. Соотношение (5') является частным случаем соотношения (5), а именно в случае статического поля. Таковым, в частности, является статическое сферически-симметричное поле, создаваемое покоящимся сферически-симмметричным телом (решение Шварцшильда).

В общей теории относительности гравитационный радиус R_g играет примечательную роль. Действительно, встречаясь с тяжелым телом, надо прежде всего оценить его гравитационный радиус, и мы уже будем знать многое о величине эффектов, связанных с общей теорией относительности. Эффекты будут малыми, если мало отношение R_g / R. Этот безразмерный параметр (отношение гравитационного радиуса к расстоянию до центра притяжения) определяет масштаб изменения хода часов, отклонение лучей света вблизи края диска Солнца, смещение перигелия Меркурия. Эта же величина входит и в третий закон Кеплера (о чем автор и не подозревал). R_g входит и во все остальные оценки. Когда же расстояние R сравнивается с гравитационным радиусом, мы приходим к черной дыре [6]. Гравитационный радиус в общей теории относительности (ОТО) играет такую же роль, как и скорость света в специальной теории относительности (СТО). Горизонт событий черной дыры в ОТО аналогичен световому барьеру в СТО ([6],c.31-53), [7].

Такая роль гравитационного радиуса в ОТО обусловлена прежде всего тем, что основное уравнение Эйнштейна (1) фактически является уравнением (5) для i-той компонеты гравитационного радиуса R_i (в интегральной форме) в динамическом случае, частным проявлением которого и является статическое сферически-симметричное поле массы m с гравитационным радиусом R_g . Выдающаяся роль гравитационного радиуса обнаруживается и при рассмотрении уравнения (5) с квантово-теоретической точки зрения, о чем будет сказано ниже.

Теперь можно проанализировать уравнение (5) с квантово-теоретической точки зрения. Уравнение (5) является линейным уравнением. Поэтому для перехода к квантовой теории можно заменить динамические переменные R_i и P_i линейными операторами и, таким образом, существенно продвинуться в построении квантовой теории гравитации. Известно, что динамические соотношения классической механики можно перенести в том же виде в квантовую механику, если вместо физических величин в этих соотношениях использовать соответствующие эрмитовские (самосопряженные) операторы. Но полной формальной аналогии здесь все же не будет. Нужно учитывать то, что эти операторы могут не коммутировать. В координатном представлении уравнение (5) принимает вид

(P_i - (c³ / 2 k) R_i )y = 0 …………….(7)

где P_i - оператор 4-импульса, а R_i - оператор гравитационного радиуса. Из (7) получаем

- i ћ (∂ y/ ∂ Rⁱ) - c³/2 k (R_i y) = 0……………………(8)

где ћ - постоянная Планка.

Из (8) следует, что оператор величины R_i имеет вид

R_i = - 2i l²_p ∂ / ∂ R ⁱ

где l_p - фундаментальная планковская длина, которая появляется здесь автоматически, а не вводится искусственно, как, например, в теории струн [8]. Видно также, что оператор R_i является самосопряженным оператором.

Исследование уравнения (8) должно позволить отыскать спектр возможных значений гравитационного радиуса черной дыры и отвечающие этим значениям амплитуды стационарных состояний черной дыры.

Частное решение (8) имеет вид.

y = y₀ exp [(i / 2l²_p) R_i Rⁱ]………………..(9)

Отметим, что в плоском пространстве-времени в прямоугольных декартовых координатах ковариантная и контравариантная компоненты вектора совпадают. В искривленном пространстве-времени (в криволинейных координатах) это уже не так. Отметим также, что ко- и контравариантные координаты относятся к одному и тому же вектору и связаны между собой равенством R_i = g_ik R^k. Этим равенством определяется переход от контравариантных компонент вектора к ковариантным. И наоборот, g ^ik R _k = Rⁱ.

Из (9) следует, что сопряженные компоненты гравитационного радиуса R_i и Rⁱ в планковских масштабах не коммутируют между собой

R _i R ⁱ - R ⁱ R _i = - 2i l²_p ...................... (10)

где R _i и R ⁱ - операторы. Отсюда следует соотношение неопределенностей

D R _i D R ⁱ ≥ l²_p …………………….. (11)

Действительно, согласно определению 4-векторов, производные ∂ y/ ∂ Rⁱ составляют ковариантный вектор, где y = y (Rⁱ) - скалярная функция. Тогда находим, что произведение операторов R_i и Rⁱ некоммутативно

(R _i R ⁱ - R ⁱ R _i ) y ( R ⁱ ) ≡ - 2i l²_p ∂ / ∂ R ⁱ [ R ⁱ y ( R ⁱ )] -

- R ⁱ (- 2i l²_p ) ∂ /∂ R ⁱ [ y ( R ⁱ )] = - 2i l²_p y ( R ⁱ )

Подчеркнём, что по i в последнем уравнении нет суммирования. Видно, что соотношение неопределенностей (11) является следствием соотношения неопределенностей Гейзенберга для импульса и координаты и уравнения (5).

Известно, что содержащейся в классических соотношениях информации недостаточно для построения аппарата квантовой механики. Необходима дополнительная информация о свойствах коммутирования рассматриваемых операторов. Иначе говоря, классические соотношения должны быть дополнены перестановочными соотношениями. Именно в перестановочных соотношениях заключена та специфическая информация, без которой немыслим аппарат квантовой механики, в том числе и квантовой теории гравитации. В этой связи подчеркнем, что в правую часть найденных нами выше перестановочных соотношений входит специфическая квантово-гравитационная постоянная - квадрат планковской длины l²_p. Переход от квантовой гравитации к классической гравитации требует положить l²_p = 0. В этом случае все величины, входящие в перестановочные соотношения, начинают коммутировать и в результате квантово-гравитационные выражения превращаются в подлинные уравнения классической теории гравитации. Именно присутствие в правой части указанного равенства хотя и малой, но все же отличной от нуля постоянной l²_p и должно обусловить все своеобразие квантово-гравитационных представлений.

Решая (5) в импульсном представлении (или учитывая, что D R_i = ћ / DP_i) мы получим соответствующее соотношение неопределенностей для сопряженных компонент импульса P_i и Pⁱ

D P_i DP ⁱ ≤ P ²_p

или проще

P² ≤ P²_p = ћ с ³ / k

т.е. импульс частицы не может быть больше планковского импульса (ћ с³ / k)^1/2.

Соотношение неопределенностей (11) говорит о том, что пространство-время в планковских масштабах микроискривленно и его кривизна (или радиус кривизны R) флуктуирует. Из (11) следует, что гравитационный радиус черной дыры не может быть меньше планковской длины 10 ^-33 см.

Можно также наряду с соотношениями Е =ћ w и P = ћ k  записать соотношение

R _i =2 l²_p k _i

где k_i - волновой 4 - вектор. Родство этого соотношения и уравнения (5) очевидно. Достаточно подставить в (5) вместо P_i величину ћ k _i .Отсюда видно, что гравитационный радиус черной дыры по мере ее "испарения" будет изменяться не как угодно, а лишь на величину 2l²_p k _i . Следовательно, и положение горизонта событий черной дыры будет изменяться дискретным образом. Можно предположить, что черная дыра (при "испарении") излучает кванты с волновым вектором k _i при переходе от одного горизонта событий к другому горизонту событий порциями по аналогии с правилом частот Бора

R_iⁿ - R_i^m = 2l²_p k _i

где R_iⁿ и R_i^m - значение i-той компоненты гравитационного радиуса черной дыры в n-том и m-том состояниях. Видимо эти кванты являются ничем иным, как микроскопическими черными дырами (см. ниже). При образовании горизонта событий с наименьшим гравитационным радиусом l_p черная дыра живет неограниченно долго, так как ей некуда больше переходить. Здесь предсказывается стабильность планковской черной дыры.

Все полученные нами выше соотношения можно также интерпретировать следующим образом. В теории тяготения Ньютона притягивающее тело удобно характеризовать одной величиной, которая называется массой тела и обозначается символом М. В релятивистской теории тяготения Эйнштейна притягивающее тело удобно характеризовать величиной, которая имеет размерность длины и называется гравитационным радиусом R _g

R _g = ( 2 k /c ²)М = ( 2 k /c ³) Мс

если k = c = 1, то R _g = 2М.

Таким образом, в релятивистской теории тяготения роль массы играет гравитационный радиус тела.

Проинтегрированное уравнение Эйнштейна (5) приводит к соотношению (5'')

R _i = R_g U_i………………(5'')

Сравнивая это соотношение с выражением для 4-импульса частицы с массой М

P_i = Mc U_i

мы приходим к выводу, что величину R _i нужно трактовать как "гравитационный 4-импульс" или "импульс кривизны пространства-времени".

В квантовой механике 4-импульс P_i имеет следующий вид

P_i = ћ k _i

где k _i - волновой 4-вектор, ћ - квант действия.

Из соотношения (5) мы нашли, что

R _i =2 l²_p k _i

Тогда, по аналогии с квантом энергии-импульса P_i = ћ k _i , величину R _i =2 l²_p k _i мы должны назвать "квантом кривизны пространства-времени".

Оператор гравитационного 4-импульса имеет вид

R _i = - 2i l²_p ∂ / ∂ R ⁱ

Сравнивая это выражение с оператором механического 4-импульса P_i

P _i = - i ћ (∂ / ∂ R ⁱ )

мы еще раз склоняемся к интерпретации величины R _i как гравитационного 4-импульса или энергии-импульса кривизны пространства-времени.

Кванты кривизны пространства-времени, равные R _i =2 l²_p k _i и создают гравитационное поле. Именно они, скорее всего, являются переносчиками гравитационных взаимодействий. Величина R _i  представляет из себя  i-тую компоненту гравитационного радиуса R_g черной дыры. Отсюда следует, что квантами гравитационного поля на планковском уровне, возможно, являются микроскопические черные дыры (виртуальные и реальные, как обладающие массой покоя, так и не обладающие массой покоя). Если переносчиками электромагнитных взаимодействий являются кванты света - фотоны, то переносчиками гравитационных взаимодействий, видимо, являются кванты кривизны гравитационного поля - микроскопические черные дыры, движущиеся со скоростью света.

Этот важный вывод является логическим следствием проквантованных гравитационных уравнений Эйнштейна (5) (высказанный здесь в форме гипотезы и требующий дополнительных исследований).

Величина l²_p характеризует планковский уровень пространства-времени. На этом уровне вакуум, вероятнее всего, состоит из виртуальных планковских черных дыр.

Напомним, что появление ко- и контравариантных компонент тензоров непосредственно связано с относительным движением систем отсчета. Уже в СТО движущаяся со скоростью V система координат K' является косоугольной, что ведет к необходимости делать различие между ко- и контравариантными координатами ([5], стр.65 ). Отсюда, видимо, следует, что некоммутативность ко- и контравариантных компонент тензоров на планковском уровне отражает неуничтожимость движения, наличие на этом уровне флуктуаций кривизны пространства-времени.

Так как пространство-время является криволинейным, то в общем случае решение (9) необходимо записать следующим образом

y = y₀ exp [( i / 2l²_p ) g _ik R ⁱ R ^k ] ,

но с учетом того, что g _ik R ^k = R _i , мы и получаем соотношение (9) . Видно также, что так как U ⁱU _i = 1, то

g _ik R ⁱ R ^k = R ⁱ R _i = U ⁱ R_g U _i R_g = R_g²

dR_g² = g _ik dR ⁱ dR ^k

где R _g - гравитационный радиус. Поэтому (9) можно переписать следующим образом

y = y₀ exp [ i R_g²/ 2l²_p ]

Отсюда следует соотношение неопределенностей, аналогичное (11)

( D R _g )² ≥ l²_p

или

D R _g ≥ l_p

или, упрощая

R _g ≥ l_p

Видно, что гравитационный радиус черной дыры не может быть меньше планковской длины 10 ^{- 33} см.

Соотношение неопределенностей (11) можно переписать следующим образом

l²_p / D R _i D R ⁱ ≤ 1

или, проще l²_p / R ² ≤ 1 , откуда следует, что

1 -  l²_p / R ² ≥ 0 ………………… (11')

В ([2],[3]c.32) было показано, что для областей пространства-времени с размером R неопределённость метрического тензора – порядка l²_p / R², что согласуется с (11' ), если учесть, что компоненты метрического тензора имеют вид

g_oo = 1 - R_g / R = 1 - 2l²_p / R²

В инерциальной системе отсчета g_oo = 1, однако теперь мы видим, что в планковских масштабах эта величина даже в инерциальной системе отсчета должна иметь вид

g_oo = 1 - D g = 1 - 2 l²_p / R ²

В инерциальной системе отсчета в декартовой системе координат интервал dS определяется формулой

dS ² = c²dt² - dx² - dy² - dz²……………….(13)

В неинерциальной системе отсчета интервал dS имеет вид

dS ² = g_{i k} dxⁱ dx^k

В инерциальной системе отсчета при пользовании декартовыми координатами величины g_{i k} равны

g_oo= 1,…… g₁₁= g_22k= g₃₃ = - 1

Однако из вышеизложенного ясно, что g_oo в планковских масштабах будет равен

g_oo = 1 - 2l²_p / R ²

даже в инерциальной системе отсчета, т.е. меньше 1. Поэтому формула (13) справедлива только когда dS >> l_p = 10 ^{- 33} см. Отсюда также следует, что на планковском уровне пространство-время не квантуется. На этом уровне оно вообще не определено в силу свойств горизонта событий черных дыр для удаленного наблюдателя. На планковском уровне нельзя ввести падающую систему отсчета, так как все такие системы неизбежно превратятся в планковские черные дыры, то есть коллапсируют [3]. [9]. В действительности на планковском уровне квантуется только кривизна пространства-времени.

Отметим примечательную роль безразмерной величины l²_p / R². На планковском уровне эта величина присутствует во многих соотношениях. Действительно, приведем примеры:

1. В выражении для метрического коэффициента g_oo имеем

g_oo = 1 - 2l²_p / R ²

2. В решении преобразованного уравнения Эйнштейна (5)

y = y₀ exp [( i / 2l²_p ) R _i R ⁱ ] = y₀ exp [ i R_g²/ 2l²_p ] 

3. В соотношении неопределенностей (11)

D R _i D R ⁱ ≥ l²_p или l²_p / D R _i D R ⁱ ≤ 1

или проще

l²_p / R ² ≤ 1

4. В знаменитом уравнении Хокинга-Бекенштейна для энтропии черных дыр [12] также присутствует величина, обратная l²_p / R². Действительно, энтропия черной дыры равна

S = k_b A / 4l²_p ……………(14)

где S - энтропия черной дыры, k_b - постоянная Больцмана, А - площадь поверхности горизонта событий, равная 4p R_g². Отсюда получаем

S = k_b p ( R_g²/ l²_p )

Совершенно очевидно, что появление безразмерного отношения l²_p / R² не случайно и свидетельствует о его важном значении для квантовой теории гравитации. Видимо, в квантовой гравитации это безразмерное отношение играет такую же роль, как и постоянная тонкой структуры в квантовой электродинамике.

Из неравенства (11) следует, что не существует такого эксперимента, с помощью которого можно было бы отличить квантованное гравитационное поле от неквантованного. Чтобы отличить "классическое" поле от квантового, необходимо иметь возможность измерять длины, меньшие планковской длины. Но, в соответствии с полученным соотношением неопределенностей, нельзя измерить длину, меньшую планковской длины. Ниже планковской длины операции измерения теряют смысл [4].

Операции измерения теряют свой смысл еще и потому, что в планковских масштабах отсутствует инструментарий для подобных измерений, так как даже фотоны при планковской энергии превращаются в микрочерные дыры [3]. Тем самым гравитация оказывается по ту сторону законов классической и квантовой теорий.

Итак, квантовая теория гравитации является теорией планковских черных дыр, но не теорией планковских струн, как утверждается в [8] или квантовых гравитационных петель, как утверждается в (11).

Найденное здесь уравнение (5) и его квантово-механический вариант, уравнение (8), являются основными уравнениями квантовой теории гравитации. С формальной точки зрения эти уравнения оказались довольно простыми. Необходимо до конца раскрыть их содержание, в частности, связь этих уравнений с работой С. Хокинга 1974 г. по квантовому "испарению" черных дыр (в частности, их связь с уравнением для энтропии черной дыры (14) ) , а также их значение для описания физики микромира начиная от 10 ^{- 43} с до 10 ^{- 35} с .

 

Литература

1. Бронштейн М.П., ЖЭТФ, 6, (1936)
2. Климец А.П., Физика и философия. Поиск истины, Брест, "Форт", 1997
3. Klimets A.P. FIZIKA B (Zagreb) 9 (2000) 1, 23 - 42 или http://fizika.hfd.hr/fizika_b/bv00/b9p023.htm
4. Тредер Г.Ю. в сб. "Проблемы физики: классика и современность", Москва, Мир,1982
5. Угаров В.А. Специальная теория относительности, Москва, Наука,1977
6. Смородинский Я.А. Черные дыры и геометрия Вселенной, Москва, Просвещение, 1978
7. Трофименко А.П. Белые и черные дыры во Вселенной, Минск, Университетское, 1991
8. Маршаков А.В. УФН, 172 977 (2002) или http://ufn.ioc.ac.ru/Index02.html
9. Климец А.П. Геоны, черные дыры и фундаментальная планковская длина или http://aklimets.narod.ru/geon.htm, 2000; см. также Климец А.П. Гравитационный коллапс фотонов или завершение фундаментальной физики или http://aklimets.narod.ru/konec_fiziki.htm , 2000
10. S. Carlip, Quantum Gravity: a Progress, gr-qc/ 0108040, (2001)
11. C. Rovelli, Living Rev. Rel. 1-1 (1998). 
12. S.W. Hawking, Commun. Math. Phys., 43, 199 (1975)