Модель специальной теории относительности

А.П. Климец

aklimets@rambler.ru

 

(Получена 25 апреля 2012; опубликована 15 июля 2012)

 

В статье построена модель специальной теории относительности. Модель позволяет понять действительный смысл преобразований Лоренца.

 

"Всякая физическая теория должна быть такой, чтобы ее, помимо всяких расчетов, можно было проиллюстрировать с помощью простейших образов, чтобы даже ребенок мог ее понять"

А. Эйнштейн

 

В научном познании создание всевозможного рода моделей играет большую роль. Пожалуй, не существует такой науки, в которой в той или иной мере не предпринимались попытки моделирования различных явлений и процессов. Они приобретают особенно большое значение для объяснения явлений, недоступных непосредственному восприятию органами чувств человека. Поэтому построение наглядной модели СТО представляется важным во всех аспектах.

Рассмотрим систему, состоящую из двух наблюдателей и двух стержней (рис.1а). Здесь АВ и A'B ' - стержни длиной l ₀, которые можно назвать единичными масштабами.

 

 Для лучшего понимания материала статьи желательно рис.1 распечатать на отдельный листок и, читая текст статьи, все время иметь его перед глазами.

В точках D и D' расположены наблюдатели. R – постоянное расстояние, R₁ - переменное расстояние. Таким образом, каждый из наблюдателей жестко связан с соответствующим стержнем (системой отсчета). Из рис.1а легко получить следующие соотношения, справедливые относительно обоих наблюдателей

l' = l ₀ ( 1 - R₁ / R );                   tg a ' = tg a / ( 1 - R₁ / R )                (1)

R tg a = tg a ' ( R - R₁ ) = inv                 (2)

Соотношения (1) характеризуют кажущееся уменьшение длины одного стержня по отношению к другому стержню в зависимости от расстояния R₁. Соотношение (2) характеризует неизменность протяженностей обоих стержней при изменении расстояния R₁ , то есть представляет собой инвариант преобразований. Отметим, что в (1) уменьшение длины l' не есть результат действия неких внутренних молекулярных сил в стержнях.

Систему “наблюдатель в D – стержень АВ ” назовем системой отсчета K₀ (красный цвет); систему “наблюдатель в D' - стержень A'B' “ назовем системой отсчета K ' (синий цвет). В каждой из указанных систем отсчета наблюдатели могут производить отсчет угловых размеров стержней по отношению друг к другу. Для наблюдателя в D система отсчета К₀ (стержень АВ) является собственной системой отсчета. Соответственно, для наблюдателя в D' собственной системой отсчета будет система К' (стержень A'B' ).

Если наблюдатели не могут покинуть точки D и D' ( например, если R - большая величина), то априори они не смогут установить соотношения (1) и (2). Но пусть в точках A, B, A', B' имеются зеркала. Тогда с помощью световых сигналов каждый из наблюдателей обнаружит, что выполняется следующее соотношение

((DA) ² - (DA' )²) ^{1 / 2} = ((DB) ² - (DB') ²) ^{1 / 2} = W                        (3)

где W - постоянная величина с размерностью длины, характеризующая то обстоятельство, что стержни параллельны друг другу. Из (3) видно, что

R - R₁ = (R ² - W ² )^{1 / 2}

Таким образом, наблюдатели в конце концов придут к следующим соотношениям, полученным из опыта

l' = l ₀ ( 1 - W ² / R ² )^{1 / 2} ;          tg a ' = tg a / ( 1 - W ² / R ² )^{1 / 2}                       (1¢)

R tg a = tg a ' (R ² - W ² )^{1 / 2} = inv                     (2¢)

Пусть теперь наблюдатель в D рассматривает в собственной системе отсчета К₀ реальный временной процесс – движение светового сигнала из точки А в точку В и обратно в точку А . Так как R tg a = c D t₀ /2, где c - скорость света; D t₀ - время движения сигнала из A в B и обратно в точку А, то

tg a = (с / R) D t₀ /2                        (4)

Далее R tg a ' = c D t '/2, где D t ' - время движения сигнала из точки A в точку C и обратно в точку А, то

tg a ' = (с / R) D t '/2                     (5)

Подставляя (4) и (5 ) в (1' ) и (2' ) и учитывая, что величины с / R можно взаимно не сокращать, а почленно умножить на подкоренное выражение, наблюдатель в D получит соотношения

l' = l ₀ ( 1 - v ² / c ² )^{1 / 2} ;               D t' = D t₀ / (1 - v ² / c ² ) ^{1 / 2}                   (1'')

c D t₀ = c' D t' = (c ² - v ² ) ^{1 / 2} D t ' = (c² D t' ² - D x' ² ) ^{1 / 2} = D S                         (2'')

где v = c W / R - величина с размерностью скорости. Отсюда v / c = W / R или v ² / c ² = W ² / R ² .

c' = (c ² - v ² ) ^{1 / 2} - так называемая "поперечная", временная компонента скорости света по отношению к стержню A'B' с точки зрения наблюдателя в D .

D x' = v D t ' - величина с размерностью длины,

D S = c D t₀ = 2 l ₀ - инвариантная величина, характеризующая неизменную протяженность стержней и выраженная через пространственно-временные характеристики светового сигнала

Что конкретно означают соотношения (1'') и (2'') ? l' представляет собой расстояние, которое пробегает световой сигнал за время Dt₀ /2 по отношению к системе K' и является проекцией светового луча на эту систему; Dt'/2 - время, за которое световой сигнал достигает точку C. Однако для наблюдателя в D точки B' и C тождественны (совпадают). Поэтому наблюдатель в D придет к выводу, что то же самое расстояние l₀ световой сигнал в системе K' пробежит за большее время Dt'/2 (время как бы “растянулось”). Для наблюдателя в D скорость светового сигнала по отношению к стержню A'B' равна

c' = (c ² - v ² ) ^{1 / 2}

то есть меньше c и поэтому сигнал затрачивает большее время Dt'/2 для достижения точки B'. Наблюдатель в D' получит те же соотношения (4'') и (5''), так как он вполне может считать, что световой сигнал испущен не из A в B и обратно в A, а из точки A' в точку B' и обратно в A'. Отметим, что численные значения скорости света в обеих системах отсчета будут равны только в случае, если сигнал излучается из точки, лежащей в центре между A и A' на прямой DD'. Но если наблюдатели изолированы друг от друга, то для них этот факт не имеет значения. Величина скорости света c для каждого из них будет предельной, а по отношению к другой системе отсчета "поперечная",  временная компонента скорости света будет иметь вид

c' = (c ² - v ² ) ^{1 / 2}                 (6)

Видно, что в модели СТО выполняются два положения: 1.Предельный характер скорости света в каждой из систем отсчета; 2.Равноправие (симметрия) двух систем отсчета..

На рис.1 можно явно показать величину скорости v . Так как c' = (c ² - v ² ) ^{1 / 2} или

c ² = c' ² + v ²                      (6¢)

что является уравнением окружности, то мы получаем рис.1б. Из рис.1б видно, что при v<<c мы имеем

l' / l ₀ = 1 ;            D t' / D t₀ = 1

что является переходом от преобразований Лоренца к преобразованиям Галилея. При v > c наша модель теряет смысл.

Видно, что "поперечная" скорость c' является временной компонентой скорости света c , а скорость v - пространственной компонентой скорости света c .

В модели можно определить и так называемое “пространство событий”. Очевидно, что им является полуплоскость над прямой DD' , где каждая точка может быть охарактеризована временем и местом. Рассмотрим, как в модели интерпретируется проблема одновременности двух событий. Пусть из точки М (рис.1а), лежащей посредине между А и В, в системе K₀ в точки A и B испущены световые сигналы. В собственной системе отсчета K₀ наблюдатель в D обнаружит, что эти сигналы придут в точки A и B одновременно. Однако в точки A' и B' эти сигналы придут не одновременно. То же обнаружит и наблюдатель в D'. Таким образом, понятие одновременности становится относительным в зависимости от того, по отношению к какой системе отсчета рассматривается этот процесс.

Относительность одновременности обусловлена конечностью скорости света. Если совершить формальный переход к пределу v<<c или с = ¥ , то одновременность становится абсолютной. В первом случае (v<<c) стержни AB и A'B' практически совмещаются. Во втором случае (с = ¥ ) катет АD растягивается до бесконечности, что делает луч зрения наблюдателя DB параллельным лучу зрения DB' и, соответственно, прямая DМ пересекает стержень A'B' , как и стержень АВ, практически посредине. В этих двух случаях, с точки зрения наблюдателя в D , сигналы придут одновременно и в точки А и В и в точки A' и B'.

Согласно СТО [1, с.45]., «чтобы измерить длину движущегося стержня относительно неподвижной системы отсчета, необходимо определить координаты конца и начала стержня в этой системе отсчета, но обязательно одновременно. Это требование одновременности ведет к тому, что длина стержня при измерении его в системе отсчета, относительно которой он движется, оказывается меньше, чем при измерении его в системе отсчета, где он покоится».  То есть

l' = l ₀ (1 - v ² / c ² ) ^{1 / 2}

Каким образом эта ситуация отображается в модели СТО? Если из точки М (рис.1), расположенной посредине стержня AB , в точки A и B послать световые сигналы, то наблюдатель в D обнаружит, что по его часам эти сигналы придут в точки A и B одновременно. По отношению же к стержню A'B' световые сигналы придут одновременно в точки A' и B'' . Но расстояние A'B'' и есть "сокращенная" длина l '. Таким образом, по отношению к стержню A'B' модель СТО адекватно отображает “сокращение” первоначальной длины, имеющее место и в реальной ситуации. Причем, как и в СТО, в модели СТО (рис.1а) указанное “сокращение” также связано с понятием одновременности.

Заметим, что длину стержня можно определить так, что измеряются положения концов стержня A'B', одновременные в системе K'. Т.е. здесь световые сигналы необходимо отправить из середины стержня A'B' в точки A' и B'. В таком случае из преобразований Лоренца будет следовать не "сокращение", а "увеличение" длины стержня. В модели СТО на рис.1 это отобразится в том, что по отношению к стержню AB с точки зрения наблюдателя в D световые сигналы придут одновременно в точки A и С, и первоначальная длина стержня A'B' будет казаться "увеличенной" и равной AС. В этом случае вместо предыдущего соотношения мы бы имели следующее уравнение

l' = l ₀ /(1 - v ² / c ² ) ^{1 / 2}

Однако релятивистская физика предписывает при измерении длины делать одновременный отсчет в той системе, в которой производится измерение, и тем самым исключает неоднозначность результатов. Рассмотренный пример относительности длины ясно указывает, что длина объекта не является неким абсолютным свойством, связанным с самим существованием объекта, но, напротив, сопоставляемое длине числовое значение зависит от условий проведения измерения.

Как отмечал В. Паули: "Лоренцево сокращение не есть свойство одного масштаба, а представляет собой принципиально наблюдаемое взаимное свойство двух движущихся относительно друг друга масштабов". И далее: "Удовлетворительно считать относительное движение причиной лоренцева сокращения, так как это последнее есть не свойство одного масштаба, а соотношение между двумя масштабами." [2]. Приведенное замечание В. Паули отображено в нашей модели на рис.1а наличием двух стержней АВ и А'В'.

Далее. В СТО физическая скорость света определяется из выражения  D S = 2l₀ = 0. Инвариантность (сохранение) нулевого интервала отражает закон постоянства скорости света. Как эта ситуация отображается в модели? В этом случае для наблюдателя в D длина стержня AB = l₀ равна нулю, т.е. собственной системы отсчета больше не существует. Остается только световой сигнал. Движение светового сигнала соотносить не с чем. Модель СТО показывает, что световой сигнал системой отсчета являться не может. Для светового сигнала не существует собственной системы отсчета. Если часами считать сам свет, то эти часы не идут, они стоят. Почему это происходит?

В свое время Ньютон задался целью искусственно выделить некоторую основную всеобщую “систему референции”, к которой можно было бы отнести все наблюдаемые величины. В соответствии с этим замыслом Ньютон и построил систему абсолютного пространства - времени. Современная физика отказалась от ньютоновской “системы референции” и избрала новую – скорость света. Именно к ней теперь относятся все наблюдаемые величины. Но, как можно видеть из модели СТО, световой сигнал не может в качестве системы отсчета, системы референции избирать самого себя. Отсчет временного процесса (движение луча света) может происходить только по отношению к стержню AB или к стержню A'B' , но не по отношению к самому себе.

Из модели СТО следует, что инвариантную величину D S (где D S /2 = l₀) на самом деле необходимо трактовать как отражение истинной неизменяемой протяженности движущегося тела (в 3-мерном пространстве) – потому величин D S и инвариантна. Описывается же она через пространственно-временные характеристики светового сигнала, движущегося от одного конца стержня (событие 1) к другому его концу и возврата светового сигнала в исходную точку (событие 2), благодаря чему в приведенном соотношении появляется коэффициент 2, так как световой сигнал дважды пробегает расстояние l₀. Только благодаря движению светового сигнала пространство и время объединяются в единое 4-мерное пространственно-временное многообразие.

Из СТО известно, что длина линейки в направлении, перпендикулярном направлению относительного движения, остается неизменной при ее измерении в любой инерциальной системе отсчета. Как следствие, отсюда вытекает соотношение для промежутков времени между двумя событиями в разных системах отсчета (собственной и несобственной). Для этого достаточно рассмотреть так называемые "световые часы" (два зеркала, между которыми "бегает" световой луч) расположенные перпендикулярно направлению относительного движения. Из соотношения для указанных промежутков времени легко получить выражение для инвариантного интервала S. Отсюда видно, что инвариантность интервала между двумя событиями является прямым следствием неизменности длины линейки в направлении, перпендикулярном направлению относительного движения. В модели СТО на рис.1 этот факт отображается тождественностью значения длины стержня l₀ и величины инвариантного интервала D S /2.

Таким образом, инвариантный интервал S есть ни что иное, как отражение неизменяемой протяженности тела (в продольном и поперечном направлениях), которая не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой инерциальной системе (потому она и инвариантна) и которая выражается через пространственно-временные характеристики светового сигнала?

"Линейка существует объективно, т.е. вне нашего сознания и вне нас. Но есть ли у нас длина до того, как осуществлены измерения? Длина, как некоторое число, возникает в результате измерения и выбора единиц длины. Конечно, у линейки есть протяженность (если хотите, длина) как качество и до измерения (выделено мной - АК), но до измерения нет численного значения длины. Таким образом, у объективно существующего тела численное значение длины возникает после измерения, а результат измерения, как мы установили, зависит от того, приборами какой системы отсчета мы пользуемся… Хотя до сих пор все время говорилось об относительности длины тел (линеек), следует помнить, что речь идет на самом деле об относительности расстояний между двумя неподвижными точками в одной системе отсчета при измерении их приборами из другой системы отсчета" [1, с.73-74].

Мы видим, что протяженность (длина) стержня, как качество, не изменяется. Это и отображается в СТО наличием инвариантного интервала S. Простое сравнение структуры соотношений для полной энергии свободного тела

Е ² = m ²c ⁴ + P_x ² c ² + P_y ² c ² + P_z ² c ²

и инвариантного интервала

(ct') ² = S ² + x ²+ y ²+ z ²

прямо указывает на это. И там и здесь на одном и том же месте стоит инвариант, который не зависит от координатных преобразований. Инвариантный интервал S отражает неизменяемую протяженность движущегося тела l₀, которую безмассовый сигнал пробежал дважды, выраженную через пространственные r и временные ct' характеристики безмассового сигнала.

Если скорость v является пространственной скоростью какого-то материального процесса, то скорость с' является временной скоростью того же материального процесса. Если тело находится в относительном покое к пространственным осям какой-то инерциальной системы координат, то относительно временной оси оно "движется" со скоростью света, т.е. все равно находится в движении, но в движении по оси времени. Это следует из соотношения

c ² = (c') ² + v_x ² + v_y ² + v_z ²

которое следует из выражения

(ct') ² = S ² + x ²+ y ²+ z ²

где скорость света c – константа, а c' = S / t' .

Мы видим, что скорость c' является "поперечной" (временной) компонентой скорости света c , а скорость v - "продольной" (пространственной) компонентой скорости света c .

Интересно отметить, что в релятивистской квантовой механике скорость с' присутствует в явном виде через операторы скоростей (т.е. через матрицы Дирака). Это легко показать. Энергия и импульс частицы выражаются через соотношение

E ² = E ²_o + P ²_x c ² + P ²_y c ² + P ²_z c ²

Его можно, разделив на E, преобразовать к следующему виду

E = ( с' / c ) E _o + ( v_x / c ) P _x c + ( v_y / c ) P _y c + ( v_z / c ) P _z c

Видно, что скорость с' входит в это соотношение симметрично вместе со скоростью v .

В квантовой механике для частиц со спином 1/2 имеем уравнение Дирака

ih (¶ y / ¶ t ) = ( g_o E _o + g₁ P _x c + g₂ P _y c + g₃ P _z c ) y

где g _i - матрицы Дирака ( i = 0,1,2,3 ), y - волновая функция.

Сопоставляя между собой два последних уравнения получаем g _i ® v_i / c и, таким образом, оператор скорости с' равен g _o c . Собственные значения этих операторов равны + с. Но на опыте всегда измеряется среднее значение релятивистского оператора скорости и оно всегда оказывается меньше c. В релятивистской квантовой механике обычно упоминают только об операторах пространственной скорости v, равных g_a c ( a = 1,2,3), не подозревая, что оператором временной скорости с' является величина g _o c .

В общепринятом формализме СТО вектор скорости (4-вектор) материальной точки определяется следующим образом

U^а = dx^а / dS

С геометрической точки зрения U^а есть компонент единичного вектора касательной к мировой линии, т.е.

h_ab U^а U^b = 1

Перейти от этой формы к форме

c ² = c' ² + v ²

нетрудно. Действительно

U^а = dx^а / dS = dx^а / c' dt'

Отсюда получаем

h_ab U^а U^b = (c/c')² - (v^k /c')² = 1

или, окончательно

c ² = c' ² + v ²

Таким образом мы видим, что правомерна не только форма h_ab U^а U^b = 1 для компонент 4-вектора скорости U^а, но также форма c ² = c' ² + v ² для скорости света c. Форма c ² = c' ² + v ² более адекватна реальности с физической точки зрения. Она более наглядна. В принципе весь математический формализм специальной и общей теории относительности можно перестроить в соответствии с этим соотношением. Форма, в которой преподносится та или иная теория, имеет важное значение для понимания ее сущности и во многом определяет ее дальнейшее развитие.

В модели СТО можно отобразить ситуацию, когда одна из систем отсчета движется равномерно - ускоренно (рис.2)

 

В этом случае величина c' (на рис.2 слева) будет иметь вид

c' = c (1 + g x / c ² )

где g - равномерное ускорение, x -текущая координата. Величина же временной компоненты скорости света c' (на рис.2 справа) по-прежнему имеет вид c' = (c ² - v ² ) ^{1 / 2}. Как видно из рис.2, симметрия двух систем отсчета (их равноправие) уже теряется. Из рис.2 также видно, что переход системы отсчета K₀ из состояния равномерного и прямолинейного движения в состояние ускорения изменяет внутренние отношения в ускоренной системе отсчета K₀ из-за изменения величины скорости c' (изменилась форма треугольника ABD), в то время как в СТО (рис.1) скорость c' менялась из-за перемены внешних отношений между двумя системами отсчета K₀ и K' (формы треугольников ABD и A'B'D' не изменились, а изменилось только их положение относительно друг друга). Изменением внутренних отношений в ускоренной системе отсчета и решается так называемый парадокс близнецов. Под внутренними отношениями мы подразумеваем здесь обмен (взаимодействие) безмассовыми сигналами между структурными элементами ускоренной системы отсчета. Изменение скорости c' под влиянием ускорения естественным образом меняет скорость остальных (вторичных) временных процессов в ускоренной системе отсчета. В общем же случае в неравномерно - ускоренных системах отсчета или в гравитационных полях величина "поперечной", временной компоненты скорости света c' обобщается и принимает вид

c' = ( g _{i k} v ⁱ v ^k ) ^{1 / 2}

или, развернуто ……….c' = (g₀₀ c ² + 2 g_{0 a} c v ^a + g _ab v ^av ^b) ^{1 / 2}

где a, b = 1,2,3 ; i, k = 0,1,2,3; g _{i k} - метрические коэффициенты или гравитационные потенциалы, a v ⁱ = dx ⁱ / dt'.

Отсюда величина инвариантного интервала равна

dS = ( g _{i k} v ⁱ v ^k ) ^{1 / 2} dt' = c' dt'                        (7)

что является первой ступенью для построения общей теории относительности (если подставить c' в качестве лагранжиана в вариационное уравнение Эйлера-Лагранжа и затем в качестве параметра выбрать S, то мы получим известное в общей теории относительности уравнение геодезической [3], [4]). Однако в (7), как мы выяснили выше, величина c' является "поперечной" скоростью, временной компонентой скорости света c , в ускоренной системе отсчета K₀ (с точки зрения условно- неподвижного наблюдателя). Она и определяет собой скорость во времени всех процессов в K₀ , а ее вариация - движение пробного тела по геодезической.

В равномерно-ускоренной системе отсчета имеем

c' = c ( g ₀₀ ) ^{1 / 2}      или     c' = c (1 + g x / c ² )

в соответствии с рис.2.

Таким образом, наша модель вполне адекватно отображает пространственно-временные отношения в СТО и, изучая ее, мы можем глубже понять сущность этой теории. Это становится возможным потому, что если в теории относительности всякое явление берется в отношении к той или иной системе отсчета как экспериментатором-наблюдателем, так и теоретиком, тоже рассматривающим явления в той или иной системе координат, то в модели СТО мы можем встать на нейтральную точку зрения, не зависящую от той или иной системы отсчета и находиться, образно выражаясь, как бы "над схваткой".

Подведем итоги: из модели СТО следует, что:

1. Величина c' = (c ² - v ² ) ^{1 / 2} или c' = ( g _{i k} v ⁱ v ^k ) ^{1 / 2} является так называемой "поперечной", временной компонентой скорости света в движущейся равномерно и прямолинейно или, соответственно, ускоренно системах отсчета с точки зрения условно-неподвижного наблюдателя по отношению к истинной протяженности движущегося стержня, равной  D S/2. Отсюда D S = c' D t ' . Скорость c' определяет скорость во времени всех процессов в этих системах отсчета.

2. Инвариантный интервал S в СТО есть не что иное, как отображение неизменяемой протяженности движущегося стержня l₀ = S/2, которая выражается через пространственно-временные характеристики безмассового сигнала.

Дает ли правильное понимание соотношений специальной теории относительности что-то полезное для физики. Новое понимание инвариантного интервала S как протяженности, выраженной через пространственно-временные характеристики безмассовых сигналов, распространяется и на понятие инвариантного интервала S в общей теории относительности. В ОТО вид интервала (геометрия пространства-времени) полностью определяется распределением и движением тяготеющих масс. Отсюда, следует, что гравитационное поле непосредственно воздействует только на безмассовые кванты энергии и, через них, опосредованно, на весомую материю. Это проявляется в том, что в выражение для "поперечной", временной компоненты скорости света

c' = ( g _{i k} v ⁱ v ^k ) ^{1 / 2}

входят гравитационные потенциалы g _{i k} . Таким образом

dS = c' dt'   = ( g _{i k} v ⁱ v ^k ) ^{1 / 2} dt'  = ( g _{i k} dx ⁱ dx ^k ) ^{1 / 2}

Pанее в статье «Модель инертной и тяжелой массы» [5]  я показал, что весомая материя в своей основе состоит из безмассовых квантов энергии, замкнутых в ограниченном пространственном объеме и «тяжелая масса» пробного тела, образованного безмассовыми квантами энергии, обусловлена их взаимодействием с гравитационным полем. Отсюда следует интересная возможность нейтрализации воздействия гравитационного поля на массивное пробное тело  путем изменения внутренних характеристик безмассовых квантов энергии, образующих данное пробное тело.

Литература

1.      Угаров В.А. Специальная теория относительности, Москва, Наука, 1977

2.      Паули В. "Теория относительности", Москва, Наука, 1983

3.      Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы физики, Москва, Атомиздат, 1972;

4.      Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров, Москва, Наука,1968

5.      Климец А.П. Модель инертной и тяжелой массы, в сб. Квантовая Магия, том 9, вып.2, 2012 или   http://quantmagic.narod.ru/volumes/VOL922012/p2132.pdf