Космологическая система координат

 

Е.В. Бурлаченко

 

(Получена 12 августа 2011; опубликована 15 октября 2011)

 

Известны факты, имеющие отношение к космологии, смысл которых остается нераскрытым. Например, трехмерное пространство Лобачевского совпадает с релятивистским пространством скоростей; в определенной системе координат метрика пространства Минковского принимает вид метрики пространства Фридмана. В статье подобные факты рассматриваются с общей точки зрения.

 

1

 

Согласно общей теории относительности и астрономическим данным, существует система координат, в которой метрика пространства-времени принимает вид:

 

,                      (1)

,     , ,,

 

 – функция времени, называемая масштабным фактором.

Трехмерное подпространство пространства-времени, образованное пространственными осями координат, принято называть пространством. Точкам пространства с фиксированными координатами соответствуют скопления  галактик, или короче, галактики. В рассматриваемой системе координат все галактики имеют одинаковый возраст, поэтому время  называется абсолютным, или космическим временем.

 Расстояние между двумя пространственными точками  и  при  обозначим . В любой другой момент времени расстояние между  и  равно

 

,

так что

.

 

Аналогичное равенство справедливо и для длины волны фотона:

 

.

 

Непривычной особенностью системы координат, связанной с метрикой (1), является то, что она не позволяет выражать пространственные расстояния в световых единицах времени. Пусть в момент  свет испускается точкой , а в момент   принимается точкой  . В это время расстояние  между  и  равно . Т.е. за время  свет проходит определенное  расстояние. Однако,

 

.

 

Чтобы в этом убедиться, представим метрику (1) в виде

 

,

где

,    .

 

Уравнение распространения света принимает вид

 

,                     (2)

или

.

 

Отсюда видно, что пройденный светом путь и время, затраченное на его преодоление,  связаны   определенной зависимостью, но  не линейной.

Обозначим

.

 

Для любого (момент испускания света точкой ) или для любого (момент прихода света в точку ) выполняется равенство

 

.

 

Метрику (1) впервые получил Александр Фридман, решая уравнения Эйнштейна для однородной и изотропной Вселенной. Но оказывается, для вывода метрики достаточно одних условий однородности и изотропности [1], [2]. Для выполнения этих условий трехмерное пространство Вселенной должно быть пространством  постоянной кривизны. В свою очередь, трехмерное пространство Лобачевского (пространство постоянной отрицательной кривизны) можно отождествить с релятивистским пространством скоростей [3], [4], [5], т. е. с пространством инерциальных систем отсчета специальной теории относительности. Последнее обстоятельство не может быть случайным и должно учитываться при отыскании конкретного вида метрики (1).

Метрика пространства-времени (пространства Минковского)

 

 

допускает две возможные реализации временной оси координат – действительную и мнимую:

 

,   ;

 

,   ,   .

 

Равенство

 

устанавливает соответствие между функциями специальной теории относительности и гиперболическими функциями:

 

,    ,

 

.

Равенство

,  

 

устанавливает соответствие

 

,   .

 

Таким образом, две возможные системы представления пространства-времени связаны формулами перехода:

 

,    ,

 

,    .

 

Минусом  мнимой системы представления является то, что она не находит применения в общей теории относительности; плюсом является то, что она позволяет рассматривать с общей точки зрения пространства постоянной кривизны, как положительной, так и отрицательной. Каждая точка пространства-времени, расположенная во внутренней области изотропного (светового) конуса, находится на мнимом расстоянии от начала координат. Гиперповерхность

 

 

можно рассматривать как гиперсферу мнимого радиуса . Формулы перехода между гиперболическими и тригонометрическими функциями обеспечивают непротиворечивость этой точки зрения.

Выбор параметра  в метрике (1) привлекателен тем, что в этом случае трехмерное пространство Вселенной становится замкнутым. Основная форма его метрики получается следующим образом. В четырехмерном евклидовом пространстве с метрикой

 

выделим сферу

.

 

Внутренняя метрика сферы проявляется при переходе от декартовых координат к сферическим с учетом условия :

 

,   ,

 

,      ,

 

 

 

,     ,

 

.

 

Но возникает вопрос: что это за четырехмерное пространство, трехмерной поверхностью в котором является пространство Вселенной? Обычно отвечают, что это вспомогательный образ, существующий лишь в нашем воображении: внутренняя геометрия пространства Вселенной самодостаточна, и возможность представлять его в виде трехмерной сферы  не имеет отношения к делу. Такое объяснение не убедительно: при построении модели Вселенной, понимаемой как мир в целом, не должно оставаться не только лишних деталей, но и лишних возможностей. Поэтому будем представлять пространство Вселенной как гиперповерхность («сферу») в реальном пространстве-времени:

 

,   ,

 

,     ;

 

 

,  .

 

«Сфера» состоит из двух «полусфер», пересекающих временную ось в противоположных направлениях от начала координат. Чтобы выделить «полусферу» с положительным направлением времени, спроектируем точки «сферы» из центра на касательную гиперплоскость , , . При этом две диаметрально противоположные точки «сферы» спроектируются на одну и ту же точку гиперплоскости. Данную операцию можно рассматривать и как преобразование координат (координаты точек экватора «сферы» уходят в бесконечность), и как отображение «сферы» на трехмерное евклидово подпространство пространства-времени [6] (в этом случае следует пользоваться понятиями проективной геометрии). Отметим, что проекцию «сферы» можно также рассматривать как пространство лучей, расположенных во внутренней области изотропного конуса пространства-времени; в свою очередь, каждый луч можно отождествить с инерциальной системой отсчета специальной теории относительности.

Пространственные  координаты проекции  точки «сферы» с координатами , , , обозначим соответственно , ,  (временная координата проекции равна ). Так как точка «сферы»  и ее проекция расположены на одной прямой, то

 

,

 

,   ,   ,

 

,   ,   .

Так как

,

то

,    ,   ,

 

,

 

,       ,

 

.

 

Подставляя новые выражения для , , ,  в формулу линейного элемента, получаем метрику пространства Лобачевского в «эллиптических» координатах (назовем их так по аналогии со «сферическими» координатами):

 

,

или

 

.

 

Приравняем   и перейдем к сферическим координатам:

 

,    ,

 

,    ,

 

,

 

,

 

,

 

.

Если

,

то

,     ,   ,

 

.

 

Возможны также следующие преобразования координат:

 

,    ,

 

;

 

,     ,

 

,

 

,

 

,

 

или в координатах  , , ;  :

 

.

 

Известно, что пространство постоянной положительной кривизны может быть сферическим или эллиптическим, получающимся из сферического путем отождествления диаметрально противоположных точек сферы. Как видим, этот факт имеет прямое отношение к рассматриваемой задаче. Вопрос, почему при проектировании сферы на плоскость форма (вернее, множество допустимых форм) линейного элемента сохраняется, вскрывает взаимосвязь между геометриями Евклида, Римана и Лобачевского, основанную на принципах проективной геометрии [5], [7]. Несмотря на впечатляющую эффективность своих методов, проективная геометрия до сих пор не нашла применения в физике. Но, вероятно, язык проективной геометрии предназначен  для космологии с ее «сингулярностью», «скрытой массой» и другими трудновыразимыми понятиями.

 

2

 

Инерциальную систему отсчета в пространстве Минковского для  краткости назовем И-системой; систему координат, связанную с метрикой  (1), назовем космологической, или К-системой. Трехмерное пространство Лобачевского будем рассматривать как пространство инерциальных систем отсчета, которые свяжем с галактиками, удаляющимися друг от друга в И-системе по закону Хаббла:

 

,

 

где  – скорость удаления галактики он начала системы отсчета,  – расстояние от начала системы отсчета до галактики,  – постоянная Хаббла,  – время, прошедшее  после Большого Взрыва, т. е. возраст Вселенной, или настоящий момент времени.

Систему отсчета свяжем с нашей  Галактикой. Пусть в настоящий момент  мы регистрируем свет, испущенный галактикой, удаляющейся от нас со скоростью . Входящее в закон Хаббла расстояние  разобьем на две составляющие:

 

,

 

где   – наблюдаемое расстояние, т. е. местоположение галактики в момент испускания света,  – расстояние, на которое галактика успевает удалиться за время прохождения светом наблюдаемого расстояния. Так как

 

,

 

то  момент испускания света галактикой в нашей И-системе равен

 

.

 

Момент этого же события  в К-системе, т. е. возраст галактики в момент испускания  света, связан с   релятивистским множителем:

 

.

 

Нашу галактику обозначим буквой ; галактику, удаляющуюся от нас со скоростью , обозначим буквой ; момент испускания света галактикой  в К-системе обозначим . Тогда

 

.

 

В пространстве Лобачевского с метрикой

 

 

,  

 

расстояние между началом координат и точкой  определяется интегралом

 

.

 

Если в метрике (1) , и  наша Галактика находится в начале пространственных координат, то из формулы (2) выводим:

 

,

 

.

 

Таким образом, метрика (1) принимает вид

 

.

 

Оказывается, найденная метрика связана с  метрикой пространства Минковского в форме

 

 

преобразованием координат [2]:

 

,    ,

 

,    ;

 

или в «эллиптических» координатах [8]:

 

,

 

,  ,   ,

 

,   ,

 

,

 

,    ,

 

,

 

 

.

Равенства

 

,

 

означают, что , ,  –  это координаты точек пересечения лучей, заполняющих изотропный конус, с гиперплоскостью, временная координата которой равна . Следовательно, в данной системе координат трехмерному пространству Вселенной соответствует модель пространства Лобачевского, называемая моделью Кэли-Клейна [5], [9].

Отметим четкость разделения дифференциалов на пространственную и временную составляющие:

 

,   , 

 

,        ,

 

 

 

,

 

,

 

.

 

Подобное разделение дифференциалов происходит при переходе от декартовых координат евклидова пространства к сферическим. Действительно, найденная метрика  в двух ее формах – не что иное, как метрика пространства Минковского в «сферических» и, как мы убедились, в «эллиптических» координатах. Чтобы убедиться в первой части утверждения, рассмотрим трехмерный случай:

 

,   ,

 

,   ,

 

,   ,

 

,    .

 

Если параметр  фиксирован, при переходе к «сферическим» координатам проявляется метрика двухмерного пространства Лобачевского:

 

.

 

Если  изменяется, получаем метрику трехмерного пространства Минковского в «сферических» координатах:

 

,

 

,

 

,

 

 

.

 

В «сферических» координатах пространство Вселенной состоит из двух «полусфер», расширяющихся в противоположных направлениях времени. «Эллиптические» координаты описывают расширение одной из этих «полусфер». Ричард Фейман убедительно показал, что антиматерию можно рассматривать как материю, двигающуюся назад во времени [10]. Поэтому с физической точки зрения одну из «полусфер» можно рассматривать как сжимающийся антимир. Однако, с математической точки зрения следует рассматривать «полусферы» как две части Вселенной, расширяющиеся в противоположных направлениях времени.

В заключение рассмотрим преобразование координат пространства Минковского, ведущее к метрике в форме (1):

 

,

 

,    ,    ,

 

,    ,

 

 

,    ,

 

,

или

,     ,

 

,     .

Тогда:

 

 

,

 

,

 

,

 

.

 

Равенства

,

 

означают, что , ,  – это координаты точек стереографической проекции «сферы» радиуса , с центром в начале координат, на гиперплоскость, временная координата которой равна . Действительно, для аналогичной проекции «сферы» радиуса   имеем:

,

где , , ,  – координаты точек проекции. Рассматриваемое преобразование координатам точек «сферы» радиуса  ставит в соответствие координаты точек ее стереографической проекции, умноженные  на  .

В [11] рассматривается стереографическая проекция сферы в связи с пространством Лобачевского. Сопоставляя сферу со «сферой», можно сделать вывод, что стереографической проекции «полусферы», противоположной полюсу проектирования, соответствует модель пространства Лобачевского, называемая моделью Пуанкаре.

 

Литература

 

1. С. Вейнберг. Гравитация и космология. М.: Мир, 1975.
2. Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уиллер. Гравитация. Т. 2. М.: Мир, 1977.
3. В. Н. Дубровский, Я. А. Смородинский, Е. Л. Сурков. Релятивистский мир. М.: Наука,1984.
4. А. А. Логунов. Анри Пуанкаре и теория относительности. М.: Наука, 2004.
5. Н. В. Ефимов. Высшая геометрия. М.: Наука, 1971.
6. Ф. Клейн. Об интегральной форме законов сохранения и теории пространственно замкнутого мира. – В кн.: Эйнштейновский сборник 1980-1981. М.: Наука, 1985.
7. Р. Н. Щербаков,  Л. Ф. Пичурин. От проективной геометрии – к неевклидовой. М.: Просвещение, 1979.
8. В. А. Фок. Теория пространства, времени и тяготения. М.: Гос. изд. тех.-теор. лит., 1955.
9. А. Д. Александров. Основания геометрии. М.: Наука, 1987.
10. Р. Фейнман. Почему должны существовать античастицы. – В кн.: Р.Фейнман, С. Вайнберг. Элементарные частицы и законы физики. М.: Мир, 2000.
11. Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен. Наглядная геометрия. М. : Наука, 1981.