А. Аспект, Теорема Белла: наивный взгляд экспериментатора

Теорема Белла: наивный взгляд экспериментатора

Ален Аспект

Избранные главы. Перевод с англ.: Путенихин П.В.

(Получена 14 февраля 2007; опубликована 15 апреля 2007)

Перевод разделов 2–5 статьи «Bell’s theorem: the naive view of an experimentalist», Alain Aspect. Статья тесно связана с другой работой Алена Аспекта – описанием знаменитого эксперимента 1982 года: «Experimental Test of Bell’s Inequalities Using Time-Varying Analysers». Рассматриваемая работа Аспекта содержит подробное и доходчивое описание теоретической части эксперимента – выявление противоречия квантовой механики и теории локального реализма, описание концептуальной модели теории дополнительного параметра в свете теоремы Белла: невозможно найти теорию дополнительного параметра, которая воспроизводит все предсказания квантовой механики. Наглядно выведено известное неравенство Белла в версии Клаузера – Хорна – Шимони – Хольта: CHSH - неравенство.

2. ПОЧЕМУ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ? МЫСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ЭЙНШТЕЙНА-ПОДОЛЬСКОГО-РОЗЕНА-БОМА

2.1. Схема эксперимента

Давайте рассмотрим оптический вариант мысленного эксперимента ЭПР в версии Бома (рис. 1). Источник S испускает пару фотонов с различными частотами v₁ и v₂, разлетающихся противоположно по оси Oz. Предположим, что вектор состояния поляризации, описывающий пару:

(1)

где |x> и |y> - линейные состояния поляризации. Это состояние замечательно: не может быть разложено на два состояния, привязанных к каждому фотону, так что мы не можем приписать никакого определенного состояния каждому фотону. В частности мы не можем назначать никакую поляризацию для каждого фотона. Такое состояние, описывающее систему нескольких объектов, о которых можно думать только глобально, является запутанным состоянием.

Мы производим линейные измерения поляризации на этих двух фотонах анализаторами I и II. Анализатор I в направлении a снабжен двумя датчиками и дает результаты + или -, если встречена линейная поляризации параллельная или перпендикулярная к a. Анализатор II в направлении b действует аналогично ‡.

Рис. 1. Мысленный эксперимент Эйнштейна-Подольского-Розена-Бома с фотонами. Два фотона v₁ и v₂, испускаемый в состоянии из уравнения (1), проанализированы линейными поляризаторами в направлениях a и b. Можно измерять вероятности одинарного или парного обнаружения в каналах поляризаторов.

Легко получить квантово-механические предсказания для этих измерений поляризации одинарных или парных. Рассмотрим сначала одиночные вероятности P±(a) получения результатов ± для фотона v₁, и точно так же одиночные вероятности P±(b) получения результатов ± на фотоне v₂. Квантовая механика предсказывает:

‡ Есть непосредственное соответствие с мысленным экспериментом ЭПР в версии Бома, имеющим дело с парой частиц со спином 1/2 в синглетном состоянии, проанализированном двумя фильтрами Штерна-Герлаха.

(Q.M.) (2)

Эти результаты находятся в согласии с замечанием, что мы не можем назначить поляризацию каждому фотону так, чтобы каждое индивидуальное измерение поляризации дало случайный результат. Теперь позвольте нам рассмотреть вероятности P±±(a,b) совместных обнаружений v₁ и v₂ в каналах + или - поляризаторов I или II в направлениях a и b. Квантовая механика предсказывает:

(Q.M.) (3)

Мы собираемся показать, что эти квантово-механические предсказания имеют далеко идущие последствия.

2.2. Корреляции

Рассмотрим сначала специфическую ситуацию (a,b)=0, когда поляризаторы параллельны. Квантовые Механические предсказания для вероятностей совместного обнаружения (уравнение 3):

(4)

Согласно этому результату и принимая во внимание (2) мы заключаем, что когда фотон v₁ найден в + канале поляризатора I, v₂ найден с достоверностью в + канале II (аналочично для каналов -). Для параллельных поляризаторов, таким образом, установлена полная корреляция между индивидуальными случайными результатами измерений поляризации двух фотонов v₁ и v₂.

Удобным способом измерения величины корреляции между случайными величинами является вычисление коэффициента корреляции. Для измерений поляризации, рассмотренных выше, он равен

(5)*

Используя предсказание (3) Квантовой Механики, мы находим коэффициент корреляции

(6)

В специфическом случае параллельных поляризаторов ((a,b)=0), мы находим E_QM(0)=1: это подтверждает, что корреляция полная.

Итак, квантово-механические вычисления показывают, что хотя каждое идивидуальное измерение дает случайные результаты, эти случайные результаты коррелированы, как показывает уравнение (6). Для параллельной (или перпендикулярной) ориентации поляризаторов корреляция полная (|E_QM|= 1).

2.3. Трудность представления формализма Квантовой Механики

Как наивный физик я люблю поднимать вопрос поиска простых образов, чтобы понять эти сильные корреляции. Наиболее естественный способ найти образное представление, состоит, возможно, в квантово-механических вычислениях, ведущих к (3). Фактически есть несколько способов сделать эти вычисления. Очень прямой должен проектировать вектор соостояния (1) в собственные векторы состояния результата. Это дает немедленно объединенные вероятности (3). Однако так как это вычисление опирается на векторы состояния, описывающие глобально эти два фотона, я не знаю, как построить картину в нашем обычном пространстве.

Чтобы преодолеть эту проблему и идентифицировать отдельно эти два измерения, произведенные на обоих концах эксперимента, мы можем разделить объединенное измерение на два шага. Предположим, например, что сначала имеет место измерение на фотоне v₁ и дает результат + на поляризаторе I в направлении a. Результат + (связанный с состоянием поляризации |a>) имеет вероятность 1/2. Чтобы продолжать вычисление, мы должны тогда использовать постулат о редукции вектора состояния, который заявляет что после этого измерения, новый вектор состояния , описания пары получен проектированием начального вектора состояния (уравнение 1) на собственное пространство, привязанное к результату +: это двухмерное собственное пространство имеет основание {|a,x>,|a,y>}. Используя соответствующий проектор, мы найдем после небольшой алгебры

(7)

Это означает, что немедленно после первого измерения фотон v₁ получает поляризацию |a>: это очевидно, потому что это было измерено поляризатором, ориентированным по a, и был получен + результат. Более удивительно, отдаленный фотон v₂, который еще не взаимодействовал ни с каким поляризатором, также спроектировался в состояние |a> с определенной поляризацией, параллельной той, которая найдена для фотона v₁. Это удивительное заключение, однако, ведет к правильному заключительному результату (3), начиная с прямого применения закона Малуса, что последующее измерение, выполненное по b на фотоне v₂ будет вести к

(8)

Поэтому вычисление в два шага дает тот же самый результат, что и прямое вычисление. При измерении в два шага возникает следующая картина:

i. Фотон v₁, который не имел явно определенной поляризации перед ее измерением, получает поляризацию, связанную с полученным результатом, во время его измерения: это не удивительно.

ii. Когда измерение на v₁ сделано, фотон v₂, который не имел определенной поляризация перед этим измерением, проектируется в состояние поляризации, параллельное результату измерения на v₁. Это очень удивительно, потому что это изменение в описание v₂ происходит мгновенно, безотносительно расстояния между v₁ и v₂ в момент первого измерения.

Эта картина находится в противоречии с относительностью. Согласно Эйнштейну, событие в данной области пространства-времени не может находиться под влиянием события, произошедшего в пространстве-времени, которое отделено пространственно-подобным интервалом. Неразумно пытаться найти более приемлемые картины, чтобы «понять» ЭПР-корреляции. Это такая картина, которую мы рассматриваем теперь.

2.4. Дополнительные параметры

Корреляции между отдаленными измерениями на двух разделенных системах, которые предварительно взаимодействовали, обычны в классическом мире. Например, если механический объект с нулевым линейным (или угловым) импульсом раздроблен на две части некоторым внутренним процессом, линейный (или угловой) импульсы двух отдельных частей остаются равными и противоположными в случае свободного развития. В общем случае, когда каждый фрагмент подвержен некоторому воздействию, эти два импульса остаются коррелироваными, так как они в момент определения получили начальные значения, которые имели совершенно определенную сумму.

Заманчиво использовать такую классическую картину, чтобы вести счет ЭПР-корреляции в термине общих свойств этих двух систем. Позвольте нам снова рассмотреть полную корреляцию измерений поляризации в случае параллельных поляризаторов (a,b)=0. Когда мы находим + для v₁, мы уверены, что найдем + также и для v₂. Таким образом, мы можем признать, что есть некоторая сущность (Эйнштейн сказал «элемент физической реальности»), имеющая отношение к этой специфической паре и определению результата ++. Для другой пары, когда результаты --, мы можем аналогично призвать общую сущность, определяющую результат --. Тогда достаточно признать, что половина пар испускается с сущностью ++, а половина - с сущностью --, чтобы воспроизвести все результаты измерения в этой конфигурации. Обратите внимание, что в этих свойствах, отличающихся от одной пары к другой, не принят во внимание квантово-механический вектор состояния , который является одним и тем же для всех пар. Это - то, почему мы можем заключить с Эйнштейном, что Квантовая Механика - не полна. И это - то, почему такие дополнительные свойства названы «дополнительными параметрами» или «скрытыми переменными» *

* Эйнштейн на самом деле не говорил о «скрытых переменных» или «дополнительных параметрах», а скорее об «элементах физической реальности». Соответственно, многие авторы говорят скорее о «реалистических теориях», а не о «теориях со скрытыми переменными» или «теориях дополнительных переменных».

Как заключение, кажется возможно «понять» ЭПР-корреляции как классически выглядящую картину, привлекая дополнительные параметры, отличающиеся от пары к паре. Можно надеяться возвратить статистические квантово-механические предсказания, когда усреднение производится по дополнительным параметрам. Кажется, что таковой была позиция Эйнштейна [5,6,7]. Обратите внимание, что в этой стадии рассуждений признание этих положений не вступает в противоречие с квантовой механикой: нет никаких логических проблем полностью принять предсказания квантовой механики и применить дополнительные параметры, дающие приемлемую картину ЭПР-корреляций. Это предполагает рассмотрение Квантовой Механики как описание Статистической Механики более глубокого уровня.

3. НЕРАВЕНСТВА БЕЛЛА

3.1. Формализм

Тремя десятилетиями после статьи ЭПР, Белл перевел в математику предшествующее обсуждение и явно представил дополнительные параметры, обозначив их l. Их распределение на ансамбле испускаемых пар определено вероятностью распределение r(l), такой что

(9)

Для данной пары, характеризуемой данным дополнительным параметром l, результаты измерения задаются двузначными функциями

(10)

Специфическая Теория Дополнительных Параметров полностью определена явной формой функций r(l), A(l,a) и B(l,b). Отсюда легко выразить вероятности различных результатов измерений. Например, отметим, что функция принимает значение +1 для + результата и 0 иначе (и аналогично принимает значение +1 для - результата и 0 иначе), мы можем записать

(11)

Точно так же функция корреляции принимает простую форму

(12)

3.2. Пример (наивный) теории дополнительного параметра

Как пример Теории Дополнительного Параметра мы представляем модель, где каждый фотон, путешествующий вдоль 0z, как предполагается, имеет явно определенную линейную поляризацию, определенный его углом (l₁ или l₂) с осью X. Чтобы объяснять сильную корреляцию, мы предполагаем, что два фотона одной пары испускаются с одной и той же линейный поляризацией, определенной общим углом l (рис. 2).

Рис.2 - Наивный пример. Каждая пара фотонов имеет «направление поляризации», определенное l, которое является дополнительным параметром модели. Поляризатор I делает поляризационное измерение по a, под углом q₁ от оси X.

Поляризации различных пар беспорядочно распределены, согласно вероятности распределение r(l), поэтому мы берем вращательный инвариант:

(13)

Чтобы закончить нашу модель, мы должны явно задать форму для функций А(λ,a) и B (λ,b). Мы берем следующую форму

(14)**

где углы q_I и q_II указывают ориентации поляризаторов. Обратите внимание, что эти формы очень разумны: А(λ,a) принимает значение +1, когда поляризация фотона v₁ образует угол меньше чем p/4 с направлением анализа a, и -1 для дополнительного случая (поляризция ближе к перпендикуляру к a).

С этой явной моделью, мы можем использовать уравнения (11), чтобы вычислить вероятности различных измерений. Мы находим, например, одиночные вероятности

, (15)

идентичные квантово-механическим результатам. Модель также позволяет нам вычислить объединенные вероятности, или эквивалентно функцию корреляции, и мы находим, используя (12):

(16)

Это - замечательный результат. Сначала обратите внимание, что E(a,b) зависит только от относительного угла (a,b), как квантово-механическое предсказание (6). Кроме того, как показано на рисунке 3, различие между предсказаниями модели простых дополнительных параметров и предсказаниями квантовой механики всегда маленькие, и точно совпадает для углов 0 и , то есть случаев полной корреляции. Этот результат, полученный с помощью чрезвычайно простой модели дополнительных параметров, является очень ободрительным, и можно было бы надеяться, что более сложная модель могла быть способна точно воспроизвести предсказания квантовой механики. Открытие Белла - факт, что поиск таких моделей является безнадежным, что мы собираемся теперь показать.

Рис.3 - Коэффициент поляризационной корреляции, как функция относительной ориентации поляризаторов: (i) Пунктирная линия: КМ предсказание; (ii) сплошная линия: наивная модель.

3.3. Неравенства Белла

Есть много различных форм и демонстраций неравенств Белла. Мы даем здесь очень простую демонстрацию, ведущую к форме, непосредственно применимой к экспериментам **.

Давайте рассмотрим выражение

(17)

Помня, что эти четыре величины А и B принимают только значение ±1, простой осмотр второй строки (17) показывает, что

(18)

Среднее значение s по λ поэтому заключено между + 2 и – 2

(19)

Согласно (12), мы можем переписазть эти неравенства

(20)

где

(21)

Это BCHSH - неравенства, то есть неравенства Белла, выведенные Клаузером, Хорном, Шимони и Хольтом [8]. Они относятся к комбинации S из четырех коэффициентов корреляции поляризации, привязанным к двум направлениям анализа для каждого поляризатора (a и b’ для поляризатора I, b и b’ для поляризатора II). Обратите внимание, что они применимы к любой теории Дополнительного Параметра самой общей формы, определенной в секции 3.1 (уравнения 9, 10, и 12), из которых наша наивная модель является только примером.

** Важно видеть различие между неравенствами, которые показывают математическое противоречие между квантовой механикой, но без возможности экспериментального испытания с (обязательно) несовершенным аппаратом, и неравенства, позволяющие экспериментальное испытание при условии, что экспериментальное несовершенство остается в некоторых (допустимых) пределах.

4. КОНФЛИКТ С КВАНТОВОЙ МЕХАНИКОЙ

4.1. Очевидное

Мы можем использовать предсказания (6) квантовой механики для ЭПР-пар, чтобы оценить величину S(a,a',b,b'), определенную уравнением (21). Для специфического набора ориентаций, показанных на рис. 4.a, результат

(22)

Это квантово-механическое предсказание определенно находится в противоречии с неравенством Белла (20) которое имеет силу для любой теории Дополнительного Параметра общей формы, определенной в §3.1.

Таким образом, мы нашли ситуацию, где квантово-механические предсказания не могут быть воспроизведены (mimicked) в соответствии с теориями дополнительного параметра. Это – сущность теоремы Белла: невозможно найти теорию дополнительного параметра, генеральная форма которой определена в §3.1, которая воспроизводит все предсказания квантовой механики. Это утверждение, как обобщенно показано на рис.3, - для специфической модели дополнительного параметра, рассматриваемой в §3.2: модель точно воспроизводит предсказания квантовой механики для некоторых специфических углов (0, p/4, p/2), но несколько отклоняется от него под другими углами. Важность теоремы Белла состоит в том, что она – не ограничена специфической моделью теории дополнительного параметра, а является всеобщей.

Рис.4 – Направления, дающие самый большой конфликт между неравенствами Белла и Квантовой Механикой.

4.2. Максимальный конфликт

Интересно увидеть максимальное нарушение неравенствами Белла предсказаний квантовой механики. Возьмем квантово механическое значение S

(23)

Это - функция трех независимых переменных (a,b), (b,a`) и (а`,b`). Заметим, что

Чтобы найти экстремум значения S_QM, мы приравниваем нулю три частичные производные, и находим

(24)

(25)

Мы подготовили на рис.5 функцию S_QM(q), вычисленную для условия (24). Показано, что абсолютный максимум и минимум S_QM равны

(26)

(27)

Эти значение - решения (25). Соответствующие наборы ориентаций показаны на рис.4. Они дают максимальные нарушения неравенств Белла.

Более обобщенно на рис.5 показано, что есть полный диапазон ориентаций, ведущих к конфликту с неравенствами Белла. Однако, также ясно, что есть много наборов ориентаций, для которых нет никакого конфликта.

Рис.5 - S(q), как предсказано квантовой механикой для ЭПР-пар. Конфликт с неравенством Белла происходит, когда |S| больше 2, и это - максимум для наборов ориентаций, приведенных на рис.4.

5. ОБСУЖДЕНИЕ: ЛОКАЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ

Сформулируем теорему Белла в следующем виде: квантовая механика находится в противоречии с любой теорией дополнительного параметра, как определено в §3.1, так как это нарушает выводы (неравенства Белла) любой такой теории. На этой стадии интересно увидеть гипотезы, лежащие в основе формализма, представленного в §3.1. Тогда можно надеяться указать определенная гипотезу, ответственную за конфликт. Поэтому мы теперь исследуем различные гипотезы, лежащие в основе теорий дополнительного параметра, представленных в секции 3.1.

Первая гипотеза - существование дополнительных параметров. Как мы видели, они были введены, чтобы осуществить учет корреляций на расстоянии. Эта гипотеза настоятельно связана с концепцией реальности, как выражено Эйнштейном, где понятие отдельных физических реальностей для резделенных частиц является значащим. Можно даже получить существование дополнительных параметров из общих утверждений о физической реальности в духе идей Эйнштейна [9]. Кажется, что гипотезы в этом духе абсолютно неизбежно приводят к неравенствам, находящимся в противоречии с квантовой механикой.

Вторая гипотеза предполагает детерминизм. Фактически, формализм секции 3.1 детерминирован: как только l установлен, результаты A(l,a) и B (l,b) измерения поляризации стали определены. Кто-то скажет, что это может быть серьезным основанием для конфликта с недетерминированным формализмом квантовой механики. Фактически, как сначала показал Белл в [10], и впоследствии было развито в [11], легко обобщить формализм секции 3.1 к стохастическим теориям дополнительного параметра, где детерминированные функции измерения A(l,a) и B (l,b) заменены вероятностными функциями. Тогда другие найдут, что неравенства Белла все еще держатся, и что конфликт не исчезает. Поэтому является общепринятым, что детерминированный характер формализма – не причина для конфликта [12].

Наиболее важной гипотезой, как подчеркнуто Беллом во всех его статьях, является локальный характер формализма секции 3.1. Мы действительно неявно приняли, что результат A(l,a) измерения в поляризаторе I, не зависит от ориентации b удаленного поляризатора II, и наоборот. Точно так же принимается, что вероятность распределение r(l) (то есть путь, по которому пары испускаются) не зависят от ориентации a и b. Это локальное предположение является критическим: неравенства Белла не могли бы обойтись без них. Действительно ясно, что демонстрация § 3.3 терпит неудачу с выражениями типа A(l,a,b) и r(l,a,b).

Заключаем, что это две гипотезы, которые, кажется, с необходимостью получают неравенства Белла, и, следовательно, конфликт с квантовой механикой:

• отдаленные корреляции могут быть поняты представлением о дополнительных параметрах, относящихся к отделенным частицам, в духе идей Эйнштейна, когда отдельные объекты имеют отдельные физические реальности.

• выражения A(l,a) и B(l,b), и r(l) подчиняются локальному условию, то есть они не зависят от ориентации отдаленного поляризатора.

Это – те главные условия, почему квантовая механика находится в противоречии с локальным реализмом.

Примечания переводчика:

Нумерация страниц и нижний колонтитул данного перевода соответствуют оригиналу.

* В последнем слагаемом исправлен порядок знаков в индексе. В оригинале выражение (5) имеет вид:

(5)

** Исправлено: cos² вместо cos2. В оригинале выражение (14) имеет вид:

(14)

Литература

1. Оригинал статьи: BELL’S THEOREM : THE NAIVE VIEW OF AN EXPERIMENTALIST Alain Aspect, Institut d'Optique Théorique et Appliquée Bâtiment 503-Centre universitaire d'Orsay 91403 ORSAY Cedex – France http://quantum3000.narod.ru/papers/edu/aspect_bell.zip

2. Aspect A., Dalibard J., Roger G., Experimental Test of Bell’s Inequalities Using Time-Varying Analysers. – Phys. Rev. Lett. 49, 25, (1982). (http://kh.bu.edu/qcl/pdf/aspect_a1982707d6d64.pdf)